Как компьютер определяет десятичные числа. Представление чисел в компьютере

Как компьютер определяет десятичные числа. Представление чисел в компьютере

Целые числа являются простейшими числовыми данными, с которыми оперирует ЭВМ. Для целых чисел существуют два представления: беззнаковое (только для неотрицательных целых чисел) и со знаком. Очевидно, что отрицательные числа можно представлять только в знаковом виде. Целые числа в компьютере хранятся в формате с фиксированной запятой.

Представление целых чисел в беззнаковых целых типах.

Представление целых чисел в знаковых целых типах.

Прямой код числа.

Дополнительный код числа.

Знаковый разряд
Возникает вопрос: с какой целью отрицательные числа записываются в виде дополнительного кода и как получить дополнительный код отрицательного числа?
Дополнительный код используется для упрощения выполнения арифметических операций. Если бы вычислительная машина работала с прямыми кодами положительных и отрицательных чисел, то при выполнении арифметических операций следовало бы выполнять ряд дополнительных действий. Например, при сложении нужно было бы проверять знаки обоих операндов и определять знак результата. Если знаки одинаковые, то вычисляется сумма операндов и ей присваивается тот же знак. Если знаки разные, то из большего по абсолютной величине числа вычитается меньшее и результату присваивается знак большего числа. То есть при таком представлении чисел (в виде только прямого кода) операция сложения реализуется через достаточно сложный алгоритм. Если же отрицательные числа представлять в виде дополнительного кода, то операция сложения, в том числе и разного знака, сводится к из поразрядному сложению.

Для компьютерного представления целых чисел обычно используется один, два или четыре байта, то есть ячейка памяти будет состоять из восьми, шестнадцати или тридцати двух разрядов соответственно.

Алгоритм получения дополнительного кода отрицательного числа.

Для получения дополнительного k-разрядного кода отрицательного числа необходимо

1. модуль отрицательного числа представить прямым кодом в k двоичных разрядах;
2. значение всех бит инвертировать:все нули заменить на единицы, а единицы на нули(таким образом, получается k-разрядный обратный код исходного числа);
3. к полученному обратному коду прибавить единицу.

Пример:
Получим 8-разрядный дополнительный код числа -52:

Можно заметить, что представление целого числа не очень удобно изображать в двоичной системе, поэтому часто используют шестнадцатеричное представление:

Представление вещественных чисел в компьютере.

Для представления вещественных чисел в современных компьютерах принят способ представления с плавающей запятой. Этот способ представления опирается на нормализованную (экспоненциальную) запись действительных чисел.
Как и для целых чисел, при представлении действительных чисел в компьютере чаще всего используется двоичная система, следовательно, предварительно десятичное число должно быть переведено двоичную систему.

Нормализованная запись числа.

Нормализованная запись отличного от нуля действительного числа – это запись вида a= m*P q , где q – целое число (положительное, отрицательное или ноль), а m – правильная P-ичная дробь, у которой первая цифра после запятой не равна нулю, то есть . При этом m называется мантиссой числа, q – порядком числа.

Примеры:

1. 3,1415926 = 0, 31415926 * 10 1 ;
2. 1000=0,1 * 10 4 ;
3. 0,123456789 = 0,123456789 * 10 0 ;
4. 0,0000107₈ = 0,1078 * 8 -4 ; (порядок записан в 10-й системе)
5. 1000,0001₂ = 0, 100000012 * 2 4 .

Так как число ноль не может быть записано в нормализованной форме в том виде, в каком она была определена, то считаем, что нормализованная запись нуля в 10-й системе будет такой:
0 = 0,0 * 10 0 .

Нормализованная экспоненциальная запись числа – это запись вида a= m*P q , где q – целое число (положительное, отрицательное или ноль), а m – P-ичная дробь, у которой целая часть состоит из одной цифры. При этом (m-целая часть) называется мантиссой числа, q – порядком числа.

Представление чисел с плавающей запятой.

При представлении чисел с плавающей запятой часть разрядов ячейки отводится для записи порядка числа, остальные разряды – для записи мантиссы. По одному разряду в каждой группе отводится для изображения знака порядка и знака мантиссы. Для того, чтобы не хранить знак порядка, был придуман так называемый смещённый порядок, который рассчитывается по формуле 2 a-1 +ИП, где a – количество разрядов, отводимых под порядок.

Пример:
Если истинный порядок равен -5, тогда смещённый порядок для 4-байтового числа будет равен 127-5=122.

Алгоритм представления числа с плавающей запятой.

1. Перевести число из p-ичной системы счисления в двоичную;
2. представить двоичное число в нормализованной экспоненциальной форме;
3. рассчитать смещённый порядок числа;
4. разместить знак, порядок и мантиссу в соответствующие разряды сетки.

Пример:
Представить число -25,625 в машинном виде с использованием 4 байтового представления (где 1 бит отводится под знак числа, 8 бит – под смещённый порядок, остальные биты – под мантиссу).

25₁₀=100011₂
0,625₁₀=0,101₂
-25,625₁₀= -100011,101₂
2. -100011,101₂ = -1,00011101₂ * 2 4
3. СП=127+4=131
4.

Можно заметить, что представление действительного числа не очень удобно изображать в двоичной системе, поэтому часто используют шестнадцатеричное представление:

Окончательный ответ: C1CD0000.

Уроки 6 – 7
§ 1.2. Представление чисел в компьютере

Ключевые слова:

• разряд
• беззнаковое представление целых чисел
• представление целых чисел со знаком
• представление вещественных чисел

1.2.1. Представление целых чисел

Оперативная память компьютера состоит из ячеек, каждая из которых представляет собой физическую систему, состоящую из некоторого числа однородных элементов. Эти элементы обладают двумя устойчивыми состояниями, одно из которых соответствует нулю, а другое — единице. Каждый такой элемент служит для хранения одного из битов — разряда двоичного числа. Именно поэтому каждый элемент ячейки называют битом или разрядом (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Ячейка памяти

Для компьютерного представления целых чисел используется несколько различных способов, отличающихся друг от друга количеством разрядов (под целые числа обычно отводится 8, 16, 32 или 64 разряда) и наличием или отсутствием знакового разряда. Беззнаковое представление можно использовать только для неотрицательных целых чисел, отрицательные числа представляются только в знаковом виде.

Беззнаковое представление используется для таких объектов, как адреса ячеек, всевозможные счётчики (например, число символов в тексте), а также числа, обозначающие дату и время, размеры графических изображений в пикселях и т. д.

Максимальное значение целого неотрицательного числа достигается в случае, когда во всех разрядах ячейки хранятся единицы. Для n-разрядного представления оно будет равно 2 n -1. Минимальное число соответствует п нулям, хранящимся в n разрядах памяти, и равно нулю.

Ниже приведены максимальные значения для беззнаковых целых n-разрядных чисел:

Для получения компьютерного представления беззнакового целого числа достаточно перевести число в двоичную систему счисления и дополнить полученный результат слева нулями до стандартной разрядности.

Пример 1. Число 53₁₀ = 110101₂ в восьмиразрядном представлении имеет вид:

Это же число 53 в шестнадцати разрядах будет записано следующим образом:

При представлении со знаком самый старший (левый) разряд отводится под знак числа, остальные разряды — под само число. Если число положительное, то в знаковый разряд помещается 0, если число отрицательное — 1. Такое представление чисел называется прямым кодом.

В компьютере прямые коды используются для хранения положительных чисел в запоминающих устройствах, для выполнения операций с положительными числами.

На сайте Федерального центра информационно-образовательных ресурсов (http://fcior.edu.ru/) размещён информационный модуль «Число и его компьютерный код». С помощью этого ресурса вы можете получить дополнительную информацию по изучаемой теме.

Для выполнения операций с отрицательными числами используется дополнительный код, позволяющий заменить операцию вычитания сложением. Узнать алгоритм образования дополнительного кода вы можете с помощью информационного модуля «Дополнительный код», размещённого на сайте Федерального центра информационно-образовательных ресурсов (http://fcior.edu.ru/).

1.2.2. Представление вещественных чисел

Любое вещественное число А может быть записано в экспоненциальной форме:

где:

m — мантисса числа;
q — основание системы счисления;
p — порядок числа.

Например, число 472 ООО ООО может быть представлено так: 4,72 • 10 8 , 47,2 • 10 7 , 472,0 • 10 6 и т. д.

С экспоненциальной формой записи чисел вы могли встречаться при выполнении вычислений с помощью калькулятора, когда в качестве ответа получали записи следующего вида: 4.72Е+8.

Здесь знак «Е» обозначает основание десятичной системы счисления и читается как «умножить на десять в степени».

Из приведённого выше примера видно, что положение запятой в записи числа может изменяться.

Для единообразия мантиссу обычно записывают как правильную дробь, имеющую после запятой цифру, отличную от нуля. В этом случае число 472 ООО ООО будет представлено как 0,472 • 10 9 .

Вещественное число может занимать в памяти компьютера 32 или 64 разряда. При этом выделяются разряды для хранения знака мантиссы, знака порядка, порядка и мантиссы.

Пример:

Диапазон представления вещественных чисел определяется количеством разрядов, отведённых для хранения порядка числа, а точность определяется количеством разрядов, отведённых для хранения мантиссы.

Максимальное значение порядка числа для приведённого выше примера составляет 1111111₂ = 127₁₀, и, следовательно, максимальное значение числа:

0,11111111111111111111111 • 10 1111111

Попытайтесь самостоятельно выяснить, каков десятичный эквивалент этой величины.

Широкий диапазон представления вещественных чисел важен для решения научных и инженерных задач. Вместе с тем следует понимать, что алгоритмы обработки таких чисел более трудоёмки по сравнению с алгоритмами обработки целых чисел.

САМОЕ ГЛАВНОЕ

Для компьютерного представления целых чисел используются несколько различных способов, отличающихся друг от друга количеством разрядов (8, 16, 32 или 64) и наличием или отсутствием знакового разряда.

Для представления беззнакового целого числа его следует перевести в двоичную систему счисления и дополнить полученный результат слева нулями до стандартной разрядности.

При представлении со знаком самый старший разряд отводится под знак числа, остальные разряды — под само число. Бели число положительное, то в знаковый разряд помещается 0, если число отрицательное, то 1. Положительные числа хранятся в компьютере в прямом коде, отрицательные — в дополнительном.

При хранении в компьютере вещественных чисел выделяются разряды на хранение знака порядка числа, самого порядка, знака мантиссы и мантиссы. При этом любое число записывается так:

где:

m — мантисса числа;
q — основание системы счисления;
p — порядок числа.

Вопросы и задания

1. Ознакомьтесь с материалами презентации к параграфу, содержащейся в электронном приложении к учебнику. Используйте эти материалы при подготовке ответов на вопросы и выполнении заданий.

2. Как в памяти компьютера представляются целые положительные и отрицательные числа?

3. Любое целое число можно рассматривать как вещественное, но с нулевой дробной частью. Обоснуйте целесообразность наличия особых способов компьютерного представления целых чисел.

4. Представьте число 63₁₀ в беззнаковом 8-разрядном формате.

5. Найдите десятичные эквиваленты чисел по их прямым кодам, записанным в 8-разрядном формате со знаком:

а) 01001100;
б) 00010101.

6. Какие из чисел 443₈, 101010₂, 256₁₀ можно сохранить в 8-разрядном формате?

7. Запишите следующие числа в естественной форме:

а) 0,3800456 • 10 2 ;
б) 0,245 • 10 -3 ;
в) 1,256900Е+5;
г) 9,569120Е-3.

8. Запишите число 2010,0102₁₀ пятью различными способами в экспоненциальной форме.

9. Запишите следующие числа в экспоненциальной форме с нормализованной мантиссой — правильной дробью, имеющей после запятой цифру, отличную от нуля:

10. Изобразите схему, связывающую основные понятия, рассмотренные в данном параграфе.

Как компьютер определяет десятичные числа. Представление чисел в компьютере

Представление чисел в компьютере (10кл)

п.1 Метод перевода чисел из десятичной системы в двоичную

Для перевода из десятичной в двоичную систему используется метод целочисленного деления на 2:

Рассмотрим несколько примеров (нажать для увеличения) :

В этом примере мы перевели десятичное число 73₁₀ в двоичный код. После полного целочисленного деления все остатки (красные нули и единицы) необходимо переписать в обратном направлении после чего мы и получим двоичный код числа 73 :

Рассмотрим два других примера перевода числа из десятичной системы в двоичную:

Здесь мы перевели десятичные числа 113 и 118 в двоичный код:

п.2. Метод перевода из двоичной системы в десятичную

Для перевода из двоичной системы в десятичную используется метод разложения числа по степеням двойки.

Например переведем двоичное число 101₂ в десятичную систему:

101 ₂ = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4 + 0 + 1 = 5 ₁₀

п.3 Двоичное кодирование целых чисел без знака

Как правило для хранения двоичного числа в памяти компьютера выделяется либо 1байт, либо 2 байта, либо 4 байта.

2 байта – полуслово

4 байта – слово

8 байтов – двойное слово

Из курса информатики за 8 класс известно, что количество всевозможных чисел, которые можно закодировать последовательностью из n битов равно:

N = 2 n

Если в нашем распоряжении только 1 байт (т.е. 8 бит), то мы можем закодировать 2 8 = 256 чисел. Т.к. числа в информатике и математике начинаются с нуля, то минимальным числом будет 0, а максимальным 255. Т.е. диапазон чисел будет:

Диапазон: 0 . 255

Если мы располагаем 2-мя байтами (16 бит), то общее количество чисел равно 2 16 = 65 536.

Диапазон: 0 . 65 535

Запомним: диапазон чисел всегда на 1 меньше чем общее количество чисел. Т.е диапазон целых чисел всегда равен 0 . 2 n – 1

Если 4 байта (32 бита), то количество чисел равно 2 32 = 4 294 967 296.

п.4 Двоичное кодирование целых чисел со знаком

Целые числа со знаком могут быть закодированы в двоичную систему тремя способами:

2. Обратным кодом

3. Дополнительным кодом

Рассмотрим кодирование прямым кодом:

Для обозначения знака числа при любой длине ячейки памяти выделяется самый левый (самый старший) бит.

Запомните: для положительных чисел знаковый бит равен 0, а для отрицательных чисел знаковый бит равен 1.

Например, при 8 битовой ячейке памяти число +118₁₀ будет записано в двоичном коде так:

А число – 118₁₀ будет отличаться лишь первым “знаковым” битом, который на этот раз будет равен 1

Запомните способ кодирования целых чисел со знаком, когда код положительного отличается от кода своего отрицательного эквивалента только знаковым битом (0 или 1) называется прямым кодом .

Недостатки прямого кода:

1. Наличие +0 и -0. В прямом коде десятичному числу 0 соответствуют 2 кода: 00000000 и 10000000. Это неизбежно приводит к “ступору” любого электрического сумматора.

2. Операция суммирования числа со своим отрицательным эквивалентом не приводит к получению нуля . Например, просуммируем числа +5 и -5 :

Как видите в результате суммирования получили -10₁₀ . Это является абсолютно недопустимым для технических устройств.

Обратный код для целых чисел со знаком

В обратном коде для обозначения знака также выделяется старший бит, но отрицательный эквивалент числа формируется по другому. Для образования кода отрицательного числа нужно изменить “знаковый” бит на 1, но кроме того нужно инвертировать все биты числа (0 заменить 1, и наоборот)

Рассмотрим числа +5 и -5 :

+5: 0 0000101₂

-5: 1 1111010₂

Что мы имеем в результате суммирования +5 и -5?

Все единицы кода – это отрицательный ноль, т.к. он образовался из положительного нуля путем инвертирования всех битов

Вывод по обратному коду:

Устранен один из недостатков прямого кода – при суммировании положительного и эквивалентного отрицательного числа получается ноль,

Но недостаток, связанный с наличием двух нулей не устранен: в обратном коде имеются два нуля: 00000000₂ и 11111111₂

Следовательно эта система представления не подходит для технических устройств.

Дополнительный код целых чисел со знаком

В дополнительном коде отрицательны эквивалент положительного числа образуется в два приема:

1. У положительного двоичного числа инвертируются биты (т.е. получаем обратный код числа)

2. К получившемуся числу прибавляется 1.

Посмотрим теперь на двоичные коды чисел +5 и -5 в дополнительном коде:

+5: 0 0000101₂

Получим дополнительный код числа -5 :

1. Получаем обратный код от положительного числа +5 (переворачиваем биты) : 1 1111010

2. К получившемуся двоичному числу прибавляем 1 в 8-и битовом представлении (1 = 00000001₂)

Получим дополнительный код:

Т.е. число -5 в дополнительном коде имеет код: 1 1111011₂ .

Проверим получится ли ноль при суммировании +5 и -5?

Прекрасно. Наконец-то мы получили заветный ноль! Теперь мы знаем, что дополнительный код должен подойти для компьютерной техники.

А как насчет двойного нуля? Есть ли в дополнительном коде -0 ? Давайте из +0 получим его дополнительный код:

+0: 0000 0000

1. Обратный код: 1111 1111 ₂

2. Прибавляем двоичную единицу 0000 0001 ₂

Получили тот же самый исходный код для положительного нуля. Следовательно отрицательного нуля в дополнительном коде не существует, т.к. его невозможно получить из положительного нуля.

Интересный факт. Получается в 8-и битовом представлении мы имеем общее количество всевозможных чисел со знаком: 2 8 = 256 . Из них ровно половина (128) имеют старшим битом 0 – это положительные числа, а другая половина (128) имеют старшим битом 1. НО. Есть одно важное “НО”. Дело в том что в число положительных 128 чисел входит и число : 0000 0000 ₂ . А это значит, что остальных положительных чисел будет не 128, а 127, а вот отрицательного нуля нет, поэтому все 128 отрицательных чисел являются отрицательными целыми числами, отличными от нуля. Самое большое отрицательное число будет -1, а самое маленькое отрицательное число: -128. Получим двоичное представление этих двух чисел в двоичном коде:

Найдем код числа -1 (в дополнительном коде) :

1. Берем +1 в двоичном коде ( 0000 0001 ₂ )

2. Инвертируем биты: 1111 1110

3. Прибавляем двоичную единицу: 1111 1110 + 0000 0001 = 1111 1111 ₂

Найдем код числа -127 (в дополнительном коде):

1. Берем код числа +127: 0111 1111 ₂ (Это самое большое положительное число, поэтому старший – знаковый – бит равен 0, а остальные биты равны 1).

2. Инвертируем все биты и получаем: 1000 0000.

3. К получившемуся числу прибавляем 1:

1000 0000 + 0000 0001 = 1000 0001₂ .

Проанализуруем, что мы выяснили. Код -1: 1111 1111 _2, код -127: 1000 0001₂ . А теперь самое интересное. Сейчас уже понятно, что все остальные отрицательные числа от -1 до -127 будут иметь старшим битом всегда 1, а остальные биты будут всевозможными комбинациями нулей и единиц. А что же тогда за число 1000 0000 ₂? Старший его бит равен 1, т.е. число отрицательно. А теперь давайте посмотрим на двоичный код числа -127 и увидим что число 1000 0000 ₂ как раз на 1 меньше кода числа -127: 1000 0001₂ . А раз так, то отнимаем от числа -127 единицу и получаем, что это ничто иное как затерявшееся число -128 . Мы его не могли получить из числа +128, т.к. числа +128 попросту не существует, поэтому пришлось прибегнуть к таким косвенным рассуждениям.

Запомните: в дополнительном коде наименьшее отрицательное число при любом размере ячейки всегда старшим битом будет иметь 1, а остальные биты будут нули.

Запомните: в дополнительном коде значащих положительных чисел всегда на 1 меньше чем значащих отрицательных, т.к. в число положительных чисел входит 0, а среди отрицательных чисел нуля нет.

п. 5 Двоичное представление вещественных чисел со знаком

Вещественные числа со знаком в двоичном коде могут быть закодированы двумя способами:

1. Двоичный код с фиксированной запятой.

2. Двоичный код с плавающей запятой.

п. 5.1 Двоичный код с фиксированной запятой

В двоичном коде с фиксированной запятой ячейка памяти (например 8-и битовая ячейка) делится на 3 неравные части:

1-я часть – это один старший (знаковый) бит – он отвечает за знак числа (0 – число положительное, 1 – число отрицательное).

2-я часть – самая большая часть, напимер 5 битов – отводятся под целую часть числа (т.е. числа слева от запятой).

3-я часть – вторя по величине – это оставшиеся 2 бита – они предназначены для дробной части числа.

“А где-же находится запятая” – спросит пытливый компьютерщик. А для запятой места не нашлось – и не нужно на нее тратить полезные биты. Мы и так договорились с компьютером, чтобы он понимал, что запятая скрывается между битами целой части и битами дробной части.

Как компьютер определяет десятичные числа. Представление чисел в компьютере

Числовые данные обрабатываются в компьютере в двоичной системе счисления. Числа хранятся в памяти компьютера в двоичном коде, т. е. в виде последовательности нулей и единиц, и могут быть представлены в формате с фиксированной или плавающей запятой.

Целые числа хранятся в памяти в формате с фиксированной запятой. При таком формате представления чисел для хранения целых неотрицательных чисел отводится регистр памяти, состоящий из восьми ячеек памяти (8 бит). Каждому разряду ячейки памяти соответствует всегда один и тот же разряд числа, а запятая находится справа после младшего разряда и вне разрядной сетки. Например, число 110011012 будет храниться в регистре памяти следующим образом:

Максимальное значение целого неотрицательного числа, которое может храниться в регистре в формате с фиксированной запятой, можно определить из формулы: 2n – 1, где n – число разрядов числа. Максимальное число при этом будет равно 28 – 1 = 25510 = 111111112и минимальное 010 = 000000002. Таким образом, диапазон изменения целых неотрицательных чисел будет находиться в пределах от 0 до 25510.

В отличие от десятичной системы в двоичной системе счисления при компьютерном представлении двоичного числа отсутствуют символы, обозначающие знак числа: положительный (+) или отрицательный (-), поэтому для представления целых чисел со знаком в двоичной системе используются два формата представления числа: формат значения числа со знаком и формат дополнительного кода. В первом случае для хранения целых чисел со знаком отводится два регистра памяти (16 бит), причем старший разряд (крайний слева) используется под знак числа: если число положительное, то в знаковый разряд записывается 0, если число отрицательное, то – 1. Например, число 53610 = 00000010000110002 будет представлено в регистрах памяти в следующем виде:

а отрицательное число -53610 = 10000010000110002 в виде:

Максимальное положительное число или минимальное отрицательное в формате значения числа со знаком (с учетом представления одного разряда под знак) равно 2n-1 – 1 = 216-1 – 1 = 215 – 1 = 3276710 = 1111111111111112 и диапазон чисел будет находиться в пределах от -3276710 до 32767.

Наиболее часто для представления целых чисел со знаком в двоичной системе применяется формат дополнительного кода, который позволяет заменить арифметическую операцию вычитания в компьютере операцией сложения, что существенно упрощает структуру микропроцессора и увеличивает его быстродействие.

Для представления целых отрицательных чисел в таком формате используется дополнительный код, который представляет собой дополнение модуля отрицательного числа до нуля. Перевод целого отрицательного числа в дополнительный код осуществляется с помощью следующих операций:

1) модуль числа записать прямым кодом в n (n = 16) двоичных разрядах;

2) получить обратный код числа (инвертировать все разряды числа, т. е. все единицы заменить на нули, а нули – на единицы);

3) к полученному обратному коду прибавить единицу к младшему разряду.

Например, для числа -53610 в таком формате модуль будет равен 00000010000110002, обратный код – 1111110111100111, а дополнительный код – 1111110111101000.

Необходимо помнить, что дополнительный код положительного числа – само число.

Для хранения целых чисел со знаком помимо 16-разрядного компьютерного представления, когда используются два регистра памяти (такой формат числа называется также форматом коротких целых чисел со знаком), применяются форматы средних и длинных целых чисел со знаком. Для представления чисел в формате средних чисел используется четыре регистра (4 х 8 = 32 бит), а для представления чисел в формате длинных чисел – восемь регистров (8 х 8 = 64 бита). Диапазоны значений для формата средних и длинных чисел будут соответственно равны: -(231 – 1) … + 231 – 1 и -(263-1) … + 263 – 1.

Компьютерное представление чисел в формате с фиксированной запятой имеет свои преимущества и недостатки. К преимуществам относятся простота представления чисел и алгоритмов реализации арифметических операций, к недостаткам – конечный диапазон представления чисел, который может быть недостаточным для решения многих задач практического характера (математических, экономических, физических и т. д.).

Вещественные числа (конечные и бесконечные десятичные дроби) обрабатываются и хранятся в компьютере в формате с плавающей запятой. При таком формате представления числа положение запятой в записи может изменяться. Любое вещественное число К в формате с плавающей запятой может быть представлено в виде:

где А – мантисса числа; h – основание системы счисления; p – порядок числа.

Выражение (2.7) для десятичной системы счисления примет вид:

Такая форма представления числа также называется нормальной. С изменением порядка запятая в числе смещается, т. е. как бы плавает влево или вправо. Поэтому нормальную форму представления чисел называют формой с плавающей запятой. Десятичное число 15,5, например, в формате с плавающей запятой может быть представлено в виде: 0,155 · 102; 1,55 · 101; 15,5 · 100; 155,0 · 10-1; 1550,0 · 10-2 и т. д. Эта форма записи десятичного числа 15,5 с плавающей запятой не используется при написании компьютерных программ и вводе их в компьютер (устройства ввода компьютеров воспринимают только линейную запись данных). Исходя из этого выражение (2.7) для представления десятичных чисел и ввода их в компьютер преобразовывают к виду

где Р – порядок числа,

т. е. вместо основания системы счисления 10 пишут букву Е, вместо запятой – точку, и знак умножения не ставится. Таким образом, число 15,5 в формате с плавающей запятой и линейной записи (компьютерное представление) будет записано в виде: 0.155Е2; 1.55Е1; 15.5Е0; 155.0Е-1; 1550.0Е-2 и т.д.

Независимо от системы счисления любое число в форме с плавающей запятой может быть представлено бесконечным множеством чисел. Такая форма записи называется ненормализованной. Для однозначного представления чисел с плавающей запятой используют нормализованную форму записи числа, при которой мантисса числа должна отвечать условию

где |А| — абсолютное значение мантиссы числа.

Условие (2.9) означает, что мантисса должна быть правильной дробью и иметь после запятой цифру, отличную от нуля, или, другими словами, если после запятой в мантиссе стоит не нуль, то число называется нормализованным. Так, число 15,5 в нормализованном виде (нормализованная мантисса) в форме с плавающей запятой будет выглядеть следующим образом: 0,155 · 102, т. е. нормализованная мантисса будет A = 0,155 и порядок Р = 2, или в компьютерном представлении числа 0.155Е2.

Числа в форме с плавающей запятой имеют фиксированный формат и занимают в памяти компьютера четыре (32 бит) или восемь байт (64 бит). Если число занимает в памяти компьютера 32 разряда, то это число обычной точности, если 64 разряда, то это число двойной точности. При записи числа с плавающей запятой выделяются разряды для хранения знака мантиссы, знака порядка, мантиссы и порядка. Количество разрядов, которое отводится под порядок числа, определяет диапазон изменения чисел, а количество разрядов, отведенных для хранения мантиссы, – точность, с которой задается число.

При выполнении арифметических операций (сложение и вычитание) над числами, представленными в формате с плавающей запятой, реализуется следующий порядок действий (алгоритм) :

1) производится выравнивание порядков чисел, над которыми совершаются арифметические операции (порядок меньшего по модулю числа увеличивается до величины порядка большего по модулю числа, мантисса при этом уменьшается в такое же количество раз);

2) выполняются арифметические операции над мантиссами чисел;

3) производится нормализация полученного результата.

Представление чисел в компьютере. Представление целых и вещественных чисел в памяти компьютера

Любому, кто хоть раз задумывался в жизни о том, чтобы стать “айтишником” или системным администратором, да и просто связать судьбу с вычислительной техникой, знание о том, как происходит представление чисел в памяти компьютера, абсолютно необходимо. Ведь именно на этом основываются языки программирования низкого уровня, такие как Assembler. Поэтому сегодня мы рассмотрим представление чисел в компьютере и их размещение в ячейках памяти.

Система счисления

Если вы читаете данную статью, то, скорее всего, уже знаете об этом, но повторить стоит. Все данные в персональном компьютере хранятся в двоичной системе счисления. Это означает, что любое число необходимо представить в соответствующей форме, то есть состоящим из нулей и единиц.

Чтобы перевести привычные для нас десятичные числа к виду, понятному компьютеру, нужно воспользоваться описанным ниже алгоритмом. Существуют и специализированные калькуляторы.

Итак, для того чтобы перевести число в двоичную систему счисления, нужно взять выбранное нами значение и поделить его на 2. После этого мы получим результат и остаток (0 или 1). Результат опять делим 2 и запоминаем остаток. Данную процедуру нужно повторять до тех пор, пока в итоге также не окажется 0 или 1. Затем записываем конечное значение и остатки в обратном порядке, как мы их получали.

Именно так и происходит представление чисел в компьютере. Любое число записывается в двоичной форме, а потом занимает ячейку памяти.

Память

Как вам должно быть уже известно, минимальная единица измерения информации составляет 1 бит. Как мы уже выяснили, представление чисел в компьютере происходит в двоичном формате. Таким образом, каждый бит памяти будет занят одним значением – 1 или 0.

Для хранения больших чисел используются ячейки. Каждая такая единица содержит до 8 бит информации. Поэтому можно сделать вывод, что минимальное значение в каждом отрезке памяти может составлять 1 байт или быть восьмизначным двоичным числом.

Целые

Наконец мы подобрались к непосредственному размещению данных в компьютере. Как было уже сказано, первым делом процессор переводит информацию в двоичный формат, а только затем размещает в памяти.

Начнем мы с самого простого варианта, коим является представление целых чисел в компьютере. Память ПК отводит под этот процесс до смешного малое количество ячеек – всего одну. Таким образом, максимум в одном слоте могут быть значения от 0 до 11111111. Давайте переведём максимальное число в привычную нам форму записи.
Х = 1 × 2 7 + 1 × 2 6 + 1 × 2 5 + 1 × 2 4 + 1 × 2 3 + 1 × 2 2 + 1 × 2 1 + 1 × 2 0 = 1 × 2 8 – 1 = 255.

Теперь мы видим, что в одной ячейке памяти может располагаться значение от 0 до 255. Однако это относится исключительно к целым неотрицательным числам. Если же компьютеру понадобится записать отрицательное значение, всё пройдет немного по-другому.

Отрицательные числа

Теперь давайте посмотрим, как происходит представление чисел в компьютере, если они являются отрицательными. Для размещения значения, которое меньше нуля, отводится две ячейки памяти, или 16 бит информации. При этом 15 уходят под само число, а первый (крайний левый) бит отдается под соответствующий знак.

Если цифра отрицательная, то записывается “1”, если положительная, то “0”. Для простоты запоминания можно провести такую аналогию: если знак есть, то ставим 1, если его нет, то ничего (0).

Оставшиеся 15 бит информации отводятся под число. Аналогично предыдущему случаю, в них можно поместить максимум пятнадцать единиц. Стоит отметить, что запись отрицательных и положительных чисел существенно отличается друг от друга.

Для того чтобы разместить в 2 ячейках памяти значение больше нуля или равное ему, используется так называемый прямой код. Данная операция производится так же, как и было описано, а максимальное А = 32766, если использовать десятичную систему счисления. Сразу хочется отметить, что в данном случае “0” относится к положительным.

Примеры

Представление целых чисел в памяти компьютера не является такой уж трудной задачей. Хотя она немного усложняется, если речь идет об отрицательном значении. Для записи числа, которое меньше нуля, используется дополнительный код.

Чтобы его получить, машина производит ряд вспомогательных операций.

1. Сначала записывается модуль отрицательного числа в двоичном счислении. То есть компьютер запоминает аналогичное, но положительное значение.
2. Затем проводится инвертирование каждого бита памяти. Для этого все единицы заменяются нулями и наоборот.
3. Прибавляем “1” к полученному результату. Это и будет дополнительный код.

Приведем наглядный пример. Пусть у нас есть число Х = – 131. Сначала получаем его модуль |Х|= 131. Затем переводим в двоичную систему и записываем в 16 ячеек. Получим Х = 0000000010000011. После инвертирования Х=1111111101111100. Добавляем к нему “1” и получаем обратный код Х=1111111101111101. Для записи в 16-битную ячейку памяти минимальным числом является Х = – (2 15 ) = – 32767.

Длинные целые

Как видите, представление вещественных чисел в компьютере не так уж и сложно. Однако рассмотренного диапазона может не хватать для большинства операций. Поэтому, для того чтобы разместить большие числа, компьютер выделяет из памяти 4 ячейки, или 32 бита.

Процесс записи абсолютно не отличается от представленного выше. Так что мы просто приведем диапазон чисел, которые могут храниться в данном типе.

Х_мах=2 147 483 647.

Х_min=- 2 147 483 648.

Данных значений в большинстве случаев достаточно для того, чтобы записывать и проводить операции с данными.

Представление вещественных чисел в компьютере имеет свои преимущества и недостатки. С одной стороны, данная методика позволяет проще производить операции между целочисленными значениями, что значительно ускоряет работу процессора. С другой стороны, данного диапазона недостаточно для решения большинства задач экономики, физики, арифметики и других наук. Поэтому теперь мы рассмотрим очередную методику для сверхвеличин.

Плавающая запятая

Это последнее, что вам необходимо знать про представление чисел в компьютере. Поскольку при записи дробей возникает проблема определения положения запятой в них, для размещения подобных цифр в компьютере используется экспоненциальная форма.

Любое число может быть представлено в следующей форме Х = m * р п . Где m – это мантисса числа, р – основание системы счисления и п – порядок числа.

Для стандартизации записи чисел с плавающей запятой используется следующее условие, согласно которому модуль мантиссы должен быть больше или равен 1/п и меньше 1.

Пусть нам дано число 666,66. Приведём его к экспоненциальной форме. Получится Х = 0,66666 * 10 3 . Р = 10 и п = 3.

На хранение значений с плавающей запятой обычно выделяется 4 или 8 байт (32 или 64 бита). В первом случае это называется числом обычной точности, а во втором – двойной точности.

Из 4 байт, выделенных под хранение цифр, 1 (8 разрядов) отдается под данные о порядке и его знаке, а 3 байта (24 разряда) уходят на хранение мантиссы и её знака по тем же принципам, что и для целочисленных значений. Зная это, мы можем провести нехитрые расчеты.

Максимальное значение п = 1111111 2 = 127 10 . Исходя из него, мы можем получить максимальный размер числа, которое может храниться в памяти компьютера. Х=2 127 . Теперь мы можем вычислить максимально возможную мантиссу. Она будет равна 2 23 – 1 ≥ 2 23 = 2 (10 × 2,3) ≥ 1000 2,3 = 10 (3 × 2,3) ≥ 10 7 . В итоге, мы получили приближенное значение.

Если теперь мы объединим оба расчета, то получим значение, которое может быть записано без потерь в 4 байта памяти. Оно будет равно Х = 1,701411 * 10 38 . Остальные цифры были отброшены, поскольку именно такую точность позволяет иметь данный способ записи.

Двойная точность

Поскольку все вычисления были расписаны и объяснены в предыдущем пункте, здесь мы расскажем всё очень коротко. Для чисел с двойной точностью обычно выделяется 11 разрядов для порядка и его знака, а также 53 разряда для мантиссы.

П = 1111111111 2 = 1023 10 .

М = 2 52 -1 = 2 (10*5.2) = 1000 5.2 = 10 15.6 . Округляем в большую сторону и получаем максимальное число Х = 2 1023 с точностью до “м”.

Надеемся, информация про представление целых и вещественных чисел в компьютере, которую мы предоставили, пригодится вам в обучении и будет хоть немного понятнее, чем то, что обычно пишут в учебниках.

Представление чисел в компьютере

Тема: Представление чисел в компьютере. Формат с фиксированной и плавающей запятой. Прямой, обратный и дополнительный код.

Повторение: Перевод целых чисел в двоичную систему счисления:

Представление целых чисел в компьютере.

Вся информация, обрабатываемая компьютерами, хранится в них в двоичном виде. Каким же образом осуществляется это хранение?

Информация, вводимая в компьютер и возникающая в ходе его работы, хранится в его памяти. Память компьютера можно представить как длинную страницу, состоящую из отдельных строк. Каждая такая строка называется ячейкой памяти.

Ячейка – это часть памяти компьютера, вмещающая в себя информацию, доступную для обработки отдельной командой процессора. Минимальной адресуемой ячейкой памяти называется байт – 8 двоичных разрядов. Порядковый номер байта называется его адресом.

ячейка (8бит = 1байт)

Содержимое ячейки памяти называется машинным словом.

Ячейка памяти состоит из некоторого числа однородных элементов. Каждый элемент способен находиться в одном из двух состояний и служит для изображения одного из разрядов числа. Именно поэтому каждый элемент ячейки называют разрядом. Нумерацию разрядов в ячейке принято вести справа налево, самый правый разряд имеет порядковый номер 0. Это младший разряд ячейки памяти, старший разряд имеет порядковый номер (n-1) в n-разрядной ячейке памяти.

Содержимым любого разряда может быть либо 0, либо 1.

Содержимое ячейки памяти называется машинным словом. Ячейка памяти разделяется на разряды, в каждом из которых хранится разряд числа.

Например, самые современные персональные компьютеры являются 64-разрядным, то есть машинное слово и соответственно, ячейка памяти, состоит из 64 разрядов или битов.

Бит — минимальная единица измерения информации. Каждый бит может принимать значение 0 или 1. Битом также называют разряд ячейки памяти ЭВМ.

Стандартный размер наименьшей ячейки памяти равен восьми битам, то есть восьми двоичным разрядам. Совокупность из 8 битов является основной единицей представления данных – байт.

Байт (от английского byte – слог) – часть машинного слова, состоящая из 8 бит, обрабатываемая в ЭВМ как одно целое. На экране – ячейка памяти, состоящая из 8 разрядов – это байт. Младший разряд имеет порядковый номер 0, старший разряд – порядковый номер 7.

Для представления чисел в памяти компьютера используются два формата: формат с фиксированной точкой и формат с плавающей точкой . В формате с фиксированной точкой представляются только целые числа , в формате с плавающей точкой – вещественные числа (дробные).

В подавляющем большинстве задач, решаемых с помощью ЭВМ, многие действия сводятся к операциям над целыми числами. Сюда относятся задачи экономического характера, при решении которых данными служат количества акций, сотрудников, деталей, транспортных средств и т.д. Целые числа используются для обозначения даты и времени, и для нумерации различных объектов: элементов массивов, записей в базах данных, машинных адресов и т.д.

Целые числа могут представляться в компьютере со знаком или без знака (быть положительными или отрицательными).

Целые числа без знака обычно занимают в памяти один или два байта и принимают в однобайтовом формате значения от 00000000 ₂ до 11111111 ₂ , а в двухбайтовом формате – от 00000000 00000000 ₂ до 11111111 11111111 ₂ .

Целые числа со знаком обычно занимают в памяти компьютера один, два или четыре байта, при этом самый левый (старший) разряд содержит информацию о знаке числа. Знак “плюс” кодируется нулем, а “минус” – единицей.

Разряд, отводимый под знак

Недостающие до целого байта старшие разряды заполняются нулями.

В компьютерной технике применяются три формы записи (кодирования) целых чисел со знаком: прямой код , обратный код , дополнительный код .

Прямой код – это представление числа в двоичной системе счисления, при этом первый разряд отводится под знак числа. Если число положительное, то в первом разряде находится 0, если число отрицательное, в первом разряде указывается единица.

На самом деле прямой код используется почти исключительно для положительных чисел. Для записи прямого кода числа необходимо:

Представить число в двоичной системе

Дополнить запись числа нулями до предпоследнего старшего разряда 8-ми разрядной или 16-ти разрядной ячейки

Заполнить старший разряд нулем или единицей в зависимости от знака числа.

Пример: число 3₁₀ в прямом коде однобайтного формата будет представлено в виде:

ч исло -3 ₁₀ в прямом коде однобайтного формата имеет вид:

Обратный код для положительного числа в двоичной системе счисления совпадает с прямым кодом. Для отрицательного числа все цифры числа заменяются на противоположные (1 на 0, 0 на 1) инвертировать , а в знаковый разряд заносится единица.

Для отрицательных чисел используется так называемый дополнительный код. Это связано с удобством выполнения операций над числами вычислительной техникой.

Дополнительный код используют в основном для представления в компьютере отрицательных чисел. Такой код делает арифметические операции более удобными для выполнения их вычислительной техникой.

В дополнительном коде, также как и прямом, первый разряд отводится для представления знака числа. Прямой и дополнительный код для положительных чисел совпадает. Поскольку прямой код используется почти исключительно для представления положительных чисел, а дополнительный – для отрицательных, то почти всегда, если в первом разряде 1, то мы имеем дело с дополнительным кодом. (Ноль обозначает положительное число, а единица – отрицательное).

Алгоритм получения дополнительного кода для отрицательного числа:

1. Найти прямой код числа (перевести число в двоичную систему счисления число без знака)

2. Получить обратный код. Поменять каждый ноль на единицу, а единицу на ноль (инвертировать число)

3. К обратному коду прибавить 1

Пример: Найдем дополнительный код десятичного числа – 47 в 16-ти разрядном формате.

Найдем двоичную запись числа 47 (прямой код).

2. Инвертируем это число (обратный код). 3. Прибавим 1 к обратному коду и получим запись этого числа в оперативной памяти.

Важно!

Для положительных чисел прямой, обратный и дополнительный коды – это одно и тоже, т.е. прямой код. Положительные числа для представления в компьютере инвертировать не надо!

Почему же используется дополнительный код для представления отрицательного числа?

Так проще выполнять математические операции. Например, у нас два числа, представленных в прямом коде. Одно число положительное, другое – отрицательное и эти числа нужно сложить. Однако просто сложить их нельзя. Сначала компьютер должен определить, что это за числа. Выяснив, что одно число отрицательное, ему следует заменить операцию сложения операцией вычитания. Потом, машина должна определить, какое число больше по модулю, чтобы выяснить знак результата и определиться с тем, что из чего вычитать. В итоге, получается сложный алгоритм. Куда проще складывать числа, если отрицательные преобразованы в дополнительный код.

Задание 1. Записать прямой, обратный и дополнительный коды следующих десятичных чисел, используя 8 -разрядную ячейку:

Задание 2. Записать прямой, обратный и дополнительный коды следующие десятичные числа в 16-ти разрядной сетке