Выполнение арифметических операций в позиционных системах счисления. Арифметические операции в позиционных системах счисления. Проверка домашнего задания

3.Используя получившиеся двоичные записи чисел, вычислите значения следующих выражений:

А) X+Y Б) Z–K В) Y·110₂ Г) Z:101₂

4.Вычислите значение выражения: 1110010₂–1110₂·11₂+1001₂:11₂

5*.Восстановите двоичные цифры:

А)10*1*10*1* + 10*1*10*1 = 1*1100*010

Б)**10 – *0* = **1

В)Составьте таблицу перевода между 4-ич. и 2-ич. системами счисления.

Г)Вычислите 4D₁₆ + 333₈. Результат представьте в 4-ич.с.с.

Вариант 3

1.Составьте таблицу перевода между следующими системами счисления:

А) 8-ич. и 2-ич. Б) 16-ич. и 2-ич.

2.Каждое из данных ниже чисел представьте в 2-ич., 8-ич., 16-ич. и 10-ич. системах счисления. Заполните следующую таблицу:

3.Используя получившиеся двоичные записи чисел, вычислите значения следующих выражений:

А) X+Y Б) Z–K В) K·110₂ Г) Z:101₂

4.Вычислите значение выражения: 1110₂·110₂–10010₂:11₂+101₂

5*.Восстановите двоичные цифры:

А)11*0*00*1* + 10*0*11*1 = 10*0011*010

Б)**10 – **1 = *0*

В)Составьте таблицу перевода между 4-ич. и 2-ич. системами счисления.

Г)Вычислите A2₁₆ – 44₈. Результат представьте в 4-ич.с.с.

Вариант 4

1.Составьте таблицу перевода между следующими системами счисления:

А) 8-ич. и 2-ич. Б) 16-ич. и 2-ич.

3.Используя получившиеся двоичные записи чисел, вычислите значения следующих выражений:

А) X+Y Б) Z–K В) K·110₂ Г) Z:101₂

4.Вычислите значение выражения: 1110₂·101₂+10010₂:11₂–1101₂

5*.Восстановите двоичные цифры:

А)11*1*00*1* + 10*0*00*1 =10*1010*010

Б)**10 – *0* = **1

В)Составьте таблицу перевода между 4-ич. и 2-ич. системами счисления.

Г)Вычислите E5₁₆ + 67₈. Результат представьте в 4-ич.с.с.

Вариант 5

1.Составьте таблицу перевода между следующими системами счисления:

А) 8-ич. и 2-ич. Б) 16-ич. и 2-ич.

3.Используя получившиеся двоичные записи чисел, вычислите значения следующих выражений:

А) X+Y Б) Z–K В) K·110₂ Г) Z:101₂

4.Вычислите значение выражения: 1110₂·101₂–10010₂+1001₂:11₂

5*.Восстановите двоичные цифры:

А)10*1*00*0* + 11*1*10*1 =10*1001*010

Б)*0** – *0* = *1*

В)Составьте таблицу перевода между 4-ич. и 2-ич. системами счисления.

Г)Вычислите 8C₁₆ – 37₈. Результат представьте в 4-ич.с.с.

Вариант 6

1.Составьте таблицу перевода между следующими системами счисления:

А) 8-ич. и 2-ич. Б) 16-ич. и 2-ич.

3.Используя получившиеся двоичные записи чисел, вычислите значения следующих выражений:

А) X+Y Б) Z–K В) K·110₂ Г) Z:101₂

4.Вычислите значение выражения: 10010₂:11₂+1010₂·110₂–111₂

5*.Восстановите двоичные цифры:

А)11*0*11*1* + 11*1*11*1 =10*1100*010

Б)*0*0 – *** = *1*

В)Составьте таблицу перевода между 4-ич. и 2-ич. системами счисления.

Г)Вычислите С4₁₆ – 134₈. Результат представьте в 4-ич.с.с.

Вариант 7

1.Составьте таблицу перевода между следующими системами счисления:

А) 8-ич. и 2-ич. Б) 16-ич. и 2-ич.

3.Используя получившиеся двоичные записи чисел, вычислите значения следующих выражений:

А) X+Y Б) Z–K В) K·110₂ Г) Z:101₂

4.Вычислите значение выражения: 1110010₂–1110₂·11₂+1001₂:11₂

5*.Восстановите двоичные цифры:

А)10*1*10*1* + 10*1*10*1 = 1*1100*010

Б)**10 – *0* = **1

В)Составьте таблицу перевода между 4-ич. и 2-ич. системами счисления.

Г)Вычислите 4D₁₆ + 333₈. Результат представьте в 4-ич.с.с.

Вариант 8

1.Составьте таблицу перевода между следующими системами счисления:

А) 8-ич. и 2-ич. Б) 16-ич. и 2-ич.

Урок на тему «Арифметические операции в позиционных системах счисления»

Арифметические операции в позиционных системах счисления

1) закрепить понятие систем счисления и представление о позиционных и непозиционных системах счисления;

2) формировать осознанные навыки выполнения арифметических действий в различных позиционных системах счисления;

3) формировать системно-информационную картину мира.

4) развивать самостоятельность мышления;

5) воспитывать сознательное отношение к учебной деятельности.

Урок комплексного применения ЗУН учащихся

Записи на доске, ПК, презентация, карточки с заданием.

Здравствуйте уважаемые гости и ребята!

Сегодня мы с вами будем двигаться дальше по пути познания, вместе будем размышлять, думать, считать, возможно, и ошибаться, и ошибаться не раз, но не бойтесь ошибаться. «Весь путь человеческого познания – это серия ошибок, причем все меньших и меньших».

Эпиграфом к нашему уроку служат слова Аристотеля. Прочтите их, пожалуйста. Читает один из учеников: «Ум заключается не только в знании, но и в умении прилагать знание в дело». И мы попробуем доказать справедливость этих слов. Слайд 1

– Какая система счисления используется повсеместно в наше время? (десятичная)

– Вспомните, какие другие с/с встречаются в нашей жизни по сей день? (12-ричная – дюжина: количество месяцев в году, часов во времени суток, число знаков зодиака; 7-ая: 7 дней в недели, пословицы с числом 7; 60-ричная – древневавилонская с/с: градусная и временная мера)

Сегодня мы с вами продолжим работать над темой с/с. А именно над темой «Арифметические действия в позиционных системах счисления»

Прослушайте стихотворение Алексея Старикова «Странная девочка»:

Ей было тысяча сто лет, ( 12 )

Она в 101-ый класс ходила, ( 5 )

В портфеле по сто книг носила – ( 4 )

Все это правда, а не бред.

Когда, пыля десятком ног, ( 2 )

Она шагала по дороге,

За ней всегда бежал щенок

С одним хвостом, зато стоногий. ( 1, 4 )

Она ловила каждый звук

Своими десятью ушами, ( 2 )

И десять загорелых рук ( 2 )

Портфель и поводок держали.

И десять темно-синих глаз ( 2 )

Рассматривали мир привычно,…

Но станет все совсем обычным,

Когда поймете наш рассказ.

У.:Кто из вас уже догадался, что необходимо сделать, чтобы объяснить противоречия в числах.

Д.: необходимо все перевести в десятичную систему счисления.

Давайте переведем все в 10с/с.

Следующая задача называется Загадочная автобиография.

В бумагах чудака-математика была найдена его автобиография. Начиналась она следующими удивительными словами: «Я окончил курс университет 44 лет отроду. Спустя год, 100-летним молодым человеком, я женился на 34-летней девушке. Незначительная разница в возрасте – всего 11 лет – способствовала тому, что мы жили общими интересами и мечтами. Спустя немного лет у меня уже была маленькая семья из 10 детей. Жалованья я получал в месяц всего 200 рублей, из которых1/10 приходилось отдавать сестре, так что мы с детьми жили на 130 рублей в месяц.»

Чем объяснить странные противоречия в числах приведенной биографии? Переведите эту биографию в 10 с/с.

Для того чтобы ее перевести нам нужно догадаться в какой с/с записана данная биография.

Какое число самое большое в этой задаче? (4)

Какая с/с может содержать в себе число 4? (5,6,7,8и.т.д.)

Читать еще: Обзор: xiaomi mi max — огромный, тонкий и удобный смартфон. Обзор: xiaomi mi max — огромный, тонкий и удобный смартфон Датчики и дополнительные возможности

Обратите внимание что все числа в задаче это 0,1,2,3 и 4. Значит в какой с/с записана данная задача в (5). Переведите из 5 с/с в 10. Что мы для этого будем делать?(возводить в степень)

Ответы: 44 – 24 года

Вот мы с вами и разгадали загадочную биографию чудака-математика.

Вспомним основные правила сложения, вычитания и умножения в позиционных с/с.

0 + 0 = 0 0 – 0 = 0 0 * 0 = 0

0 + 1 = 1 1 – 0 = 1 1 * 0 = 0

1 + 0 = 1 1 0 – 1 = 11 0 * 1 = 1

1 + 1 = 10 1 – 1 = 0 1 * 1 = 1

6778 +3508 =12478

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.

750 8 – 236 8 = 512 8

При выполнении операции вычитания всегда из большего по абсолютной величине числа вычитается меньшее и у результата ставится соответствующий знак.

1011 2 *101 2 =110111 2

Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.

101101 2 :101 2 = 101 2

Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления.

Для более быстрого расчета арифметических действий существуют таблицы сложения и умножения в позиционных с/с. Давайте попробуем свами используя эти таблицы решить следующие примеры:

5В416 + С5216 =120616

213 8 * 3 8 = 641 8

Предлагая выполнить небольшие упражнения на глаза.

Теперь послушаем, что у нас сегодня в рубрике «В мире интересного»

Зная все правила сложения в сс можно легко и быстро сосчитать время в этих часах. Хотелось ли бы вам иметь такие часы? (ответы учащихся)

Самостоятельная работа за компьютером.

Сейчас давайте выполним небольшую сам.работу. (за компьютером)

Постройте в координатной плоскости заданную фигуру по плану. Предварительно осуществите перевод координат точек из двоичной сс в десятичную.

Постройте окружность с центром в точке(110;110), радиусом 101;

Постройте точки и соедините их отрезками, закрасьте соответствующим цветом.

Синий (11;111), (100;1000), (101;111), (100;110).

Синий (111;111), (1000;1000), (1001;111), (1000;110).

Красный (100;100), (110;11), (1000;100).

Улыбающийся человечек который получился в результате выполнения творческого задания, – подтверждение тому, что вы хорошо поработали на уроке.

8. Рефлексия. (с помощью интерактивного тестирования Votum )

1.На уроке я работал
2.Своей работой на уроке я
3.Урок для меня показался
4.За урок я
5.Мое настроение
6.Материал урока мне был

активно / пассивно
доволен / не доволен
коротким / длинным
не устал / устал
стало лучше / стало хуже
понятен / не понятен
полезен / бесполезен
интересен / скучен

1. Сложить восьмеричные числа: 58 и 48, 178 и 418.

2. Провести вычитание шестнадцатеричных чисел: F16 и А16, 4116 и 1716.

Творческий уровень: фокусник отгадывает задуманное число по спичкам. Загадавший должен в уме делить задуманное число пополам, полученную половину опять пополам и т.д. (для нечетных чисел берется целая половина от деления), и при каждом делении класть перед собой спичку, направленную вдоль, если делится число четное, и поперек, если нечетное. По полученной фигуре фокусник всегда безошибочно отгадывает число. Как он это делает? Повторите этот фокус.

Конспект урока по информатике “Арифметические операции в позиционных системах счисления”

Описание разработки

Пояснительная записка

Урок проводится в девятых классах, в рамках главы «Кодирование и обработка числовой информации». По типу относится к занятию изучения и первичного закрепления новых знаний и способов деятельности.

Дидактическая ценность этого занятия состоит в том, что урок входит в раздел курса изучения предмета «Информатика и ИКТ». Полученные на уроке знания можно применить в общеобразовательной деятельности, а именно в математике.

В течение всех лет изучения математики в школе, ученик знакомится только с одной позиционной системой счисления – десятичной, это значительно сужает кругозор ученика. Но на уроках информатики этот пробел мы можем исправить. Такие уроки дают возможность повысить интерес ученика к изучению математики в школе и установить у учащихся межпредметную связь, углубляет знания по предметам, изучаемым в школьной программе. Так как тема связана с математикой, это дает шанс развить интерес у учащихся.

К этому времени учащиеся освоили темы:

«Кодирование числовой информации»

«Представление числовой информации с помощью систем счисления»

Что дает представление в целом о существующих системах счисления, и поясняет, почему в компьютере в основном используется двоичная система счисления.

В курсе информатики 9 класса системам счисления отводится мало времени и поэтому очень важно сформировать целостную картину по этой теме среди учащихся.

Цель урока: Изучение и первичное закрепление новых знаний и способов деятельности

Задачи урока

– знакомство с системами счисления, способами записи чисел в разных системах счисления;

– развитие навыков и умений выполнения арифметических операций в позиционных системах счисления;

– установление взаимосвязи между системами счисления;

– закрепление знаний в выполнении перевода чисел из десятичной системы счисления в позиционные системы счисления и обратно;

– развитие алгоритмического мышления памяти, внимательности, познавательного интереса, развитие логического мышления;

– умение устанавливать межпредметные связи и применять полученные знания на других уроках;

– формирование представления о арифметике в системе счисления, умения мысленного упорядочения своих действий при решении задач, формирование навыков устного счета.

– воспитание бережного отношения, как к техники, так и к информации, своей и чужой, самостоятельности при решении задач;

– формирование умения доводить начатое дело до конца;

Материально – техническое оснащение: персональный компьютер учителя, проектор, экран.

Тип урока по цели: Урок комплексного применения знаний, умений и навыков.

Имеет своей целью изучение нового материала, используя знания полученные ранее. Устанавливает межпредметную связь, используя методы сложения и вычитания чисел в различных системах счисления.

По форме лекция и практикум

Фронтальная работа учителя с классом;

Самостоятельная работа учащихся.

Использование элементов ролевого подхода при обсуждении материала урока.

Технологическая карта урока

Организационный момент

Подготовить учащихся к работе на уроке, определить цели и задачи урока

Взаимные приветствия учителя и учащихся: фиксация отсутствующих, проверка внешнего состояния классного помещения; проверка подготовленности учащихся к уроку; организация внимания; внутренняя готовность, психологическая организация внимания.

Этап всесторонней проверки знаний, умений

Проверка качества усвоения материала методом проверка степени сформированности общеучебных навыков и умений; оценка знаний, умений и навыков

Этап всесторонней проверки домашнего задания

Выяснить степень усвоения заданного на дом материала; определить типичные недостатки в знаниях и их причины; ликвидировать обнаруженные недочеты.

Цель: проверить у учащихся умения и навыки перевода чисел из одной системы счисления в другую

Весь материал – смотрите документ.

Содержимое разработки

Читать еще: CashBox.ru: Обзор Сервиса для Продвижения и Заработка

К этому времени учащиеся освоили темы:

«Кодирование числовой информации»

«Представление числовой информации с помощью систем счисления»

Цель урока: Изучение и первичное закрепление новых знаний и способов деятельности

– знакомство с системами счисления, способами записи чисел в разных системах счисления;

– развитие навыков и умений выполнения арифметических операций в позиционных системах счисления;

– установление взаимосвязи между системами счисления;

-развитие алгоритмического мышления памяти, внимательности, познавательного интереса, развитие логического мышления;

– умение устанавливать межпредметные связи и применять полученные знания на других уроках;

– формирование умения доводить начатое дело до конца;

Материально – техническое оснащение: персональный компьютер учителя, проектор, экран.

Тип урока по цели: Урок комплексного применения знаний, умений и навыков.

По форме лекция и практикум

Фронтальная работа учителя с классом;

Самостоятельная работа учащихся.

Использование элементов ролевого подхода при обсуждении материала урока.

Технологическая карта урока

Предмет: Информатика и ИКТ

Автор УМК: Босова Л.Л, Босова А.Ю

Тема урока: Арифметические операции в позиционных системах счисления

Тип урока: изучения и первичного закрепления новых знаний и способов деятельности.

Арифметические операции в позиционных системах счисления
методическая разработка по информатике и икт (9 класс) по теме

конспект и презентация

Скачать:

Предварительный просмотр:

«Арифметические операции в позиционных системах счисления»

содействовать ознакомлению учащихся с правилами выполнения арифметических операций в двоичной системе счисления, создать условия применения теоретических знаний на практике при решении задач;
способствовать развитию внимания, памяти, логического мышления учащихся;
содействовать воспитанию самостоятельности при выполнении заданий.

компьютеры;
проектор;
экран;
презентация «Арифметические операции в позиционных системах счисления»;
карточки для проведения самостоятельной работы;
программа-тренажер;
программа-тестировщик А.П. Радченко «АRIF_T.EXE».

Организационный этап (1 – 2 мин.)
Проверка домашнего задания (3 – 5 мин.)
Актуализация опорных знаний (1 – 2 мин.)
Изучение нового материала (10 – 12 мин.)
Первичная проверка понимания нового материала (5 – 7 мин.)
Закрепление знаний и способов действий (10 – 15 мин.)
Информация о домашнем задании (2 мин.)
Подведение итогов и результатов урока (1 – 2 мин.)

1. Организа-ционный этап

Здравствуйте, ребята! Садитесь. Надеюсь, что вы все готовы к уроку.

Проверка готовности класса к уроку

2. Проверка домашнего задания

Для начала ответьте на мои вопросы:

Что надо сделать, чтобы перевести число из десятичной системы в двоичную?
Что надо сделать, чтобы перевести число из двоичной системы в десятичную?
Как перевести правильную десятичную дробь в двоичную систему счисления?
В восьмеричную?
В шестнадцатеричную?

Что получилось в результате перевода:

Беседа с учащимися

3. Актуализа-ция опорных знаний

Тема нашего сегодняшнего занятия звучит так: «Арифметические операции в позиционных системах счисления».

Сегодня мы узнаем как сложение, вычитание, умножение деление выполняются компьютером.

Объявление темы урока

4. Изучение нового материала

Арифметические операции в позиционных системах счисления

Арифметические операции во всех позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же хорошо известным вам правилам.

Сложение. Рассмотрим сложение чисел в двоичной системе счисления. В его основе лежит таблица сложения одноразрядных двоичных чисел:

При сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда величина числа в нем становится равной или большей основания системы счисления, для двоичной системы счисления – большей или равной 2.

Сложение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей сложения с учетом возможных переносов из младших разрядов в старшие. В качестве примера сложим в столбик двоичные числа 110 2 и 11 2 .

Проверим правильность вычислений сложением в десятичной системе счисления. Переведем двоичные числа в десятичную систему счисления и затем их сложим.

110 2 = 1*2 2 + 1*2 1 + 0*2° = 6 10

11 2 = 1*2 1 + 1*2° = 3 10

Теперь переведем результат двоичного сложения в десятичное число.

1001 2 = 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2° = 9 10 Сравнение результатов показывает, что сложение выполнено правильно.

Вычитание. Рассмотрим вычитание двоичных чисел. В его основе лежит таблица вычитания одноразрядных двоичных чисел. При вычитании из меньшего числа (0) большего (1) производится заем из старшего разряда. В таблице заем обозначен 1 с чертой.

Вычитание многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей вычитания с учетом возможных заемов из старших разрядов. В качестве примера произведем вычитание двоичных чисел 110 2 и 11 2 .

Умножение. В основе умножения лежит таблица умножения одноразрядных двоичных чисел:

Умножение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с таблицей умножения по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя. В качестве примера произведём умножение двоичных чисел 110 2 и 11 2 .

Деление. Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления. В качестве примера произведём деление двоичного числа 110 2 на 11 2 .

Объяснение нового материала идёт с опорой на материал презентации.

Арифметические операции в позиционных системах счисления

Данная разработка поможет преподавателям не только научить студентов выполнять сложение, вычитание, умножение и деление в двоичной системе счисления, но и познакомить учащихсяс таблицей умножения в шестнадцатиричной системе счисления.

Просмотр содержимого документа
«Арифметические операции в позиционных системах счисления»

Департамент образования Ивановской области

ОГБПОУ «Кинешемский педагогический колледж»

Арифметические операции в позиционных системах счисления

Методическая разработка урока

преподаватель высшей категории Совина Марина Владимировна

Тема « Арифметические операции в позиционных системах счисления»

Цель: формирование навыков выполнения арифметических операций в системах счисления с основанием 2 n

рассмотреть правила выполнения арифметических операций;

научить выполнять сложение, вычитание, умножение и деление в различных системах счисления;

развить логическое мышление, умение сопоставлять и анализировать;

воспитать культуру ведения записей и правильность речи.

Длительность 90 мин.

Оборудование: доска, мел, программа Калькулятор, карточки, таблица.

2.постановка целей и задач

3.изучение нового материала

4.закрепление вычислительных навыков

5. подведение итогов

1 Организационный момент.

2. Сегодня мы продолжим изучение систем счисления(с.с.). Из всего многообразия созданных человеком с.с. распространение получили позиционные с.с.

– Почему? Как вы думаете?

– более удобный способ записи чисел , ограниченное количество символов;

– простота выполнения арифметических операций.

Первое преимущество не вызывает уже сомнений, т.к. мы научились записывать числа в различных с.с. , а вот во втором преимуществе нам ещё предстоит убедиться.

–Итак, как должна звучать тема сегодняшнего урока?

-Арифметические операции в с.с. с основанием 2 n

– Какую же цель мы должны достичь на данном занятии?

Читать еще: Как вскрыть флешку. Инструкция по восстановлению флешек. Повреждены контакты USB-разъема

-Научиться выполнять сложение, вычитание, умножение, деление в этих с.с.

На дом вам было задано вспомнить правила выполнения данных действий в привычной нам десятичной с.с., поэтому сегодня предлагается

1 вспомнить правила +, -, *, / в десятичной с.с.;

2 сформулировать эти правила для с.с. с основанием 2 n ;

3 проверить их работу и научиться применять.

Начнем нашу сегодняшнюю исследовательскую работу со СЛОЖЕНИЯ

Выполнить вычисление, объяснив все шаги и применяемые правила:

12843 + 471 = 13 314

Записываем числа т.о., чтобы разряды в записи числа совпадали;

Складываем цифры каждого разряда, начиная с права;

Если полученное число больше основания с.с., то к числу следующего разряда прибавим 1. а в данном разряде запишем разность полученного числа и основания с.с.

Проверим работу нашего алгоритма в 2-ой с.с.

1011 + 1010 = 10101

– Как проверить себя?

А) Перевести все три числа в десятичную с.с. 11 + 10 = 21 (10)

Б) Использовать инженерный калькулятор.

Ещё несколько примеров:

101110 +11101 =1001011

Переходим к ВЫЧИТАНИЮ.

Выполни вычитание комментируя свои действия:

запишем числа т.о., чтобы разряды в записи числа совпадали, всегда из большего по модулю числа вычитается меньшее;

выполняем вычитание справа на лево в каждом разряде;

если цифра в записи разряда меньше вычитаемой, то у цифры большего разряда занимаем 1 , а к данной прибавляем основание с.с. и выполняем вычитание.

Пробуем воспользоваться данной последовательностью действий.

1011 – 10 =1001 (2) 11 – 2 = 9 (10)

Выполнение практической работы №1 в парах:

– выдаются листы с заданием (см. Приложение 1 ) и по 2 чистых листочка

– на чистых листах записываются обе фамилии студентов

– каждый студент ведет запись работы, но один экземпляр сдается, а второй проверяется на ПК.

Умножение и деление, как вы знаете, более сложные операции и правила здесь сложнее. Предлагаю для актуализации знаний выполнить следующее умножение:

124 * 12= 1488 и 85 * 24 = 2040

– Кроме правил записи и сложения, что еще нам потребовалось?

Оказывается в каждой с.с. существует такая таблица

Информатика. 10 класс

Конспект урока

Информатика, 10 класс. Урок № 9.

Тема урока — Арифметические операции в позиционных системах счисления

Урок посвящен теме «Арифметические операции в позиционных системах счисления»». В ходе урока школьники научатся складывать, вычитать, умножать и делить в разных позиционных системах счисления.

— позиционные системы счисления,

— арифметические операции в системе счисления с основанием q,

— Информатика. 10 класс: учебник / Л. Л. Босова, А. Ю. Босова. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2016. – 288 с.

— Математические основы информатики: учебное пособие / Е. В. Андреева, Л. Л Босова, И. Н. Фалина — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. – 328 с.

Мы продолжаем изучать позиционные системы счисления. Вы узнали, что позиционные системы счисления бывают разные: десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Вы научились переводить числа из одной системы счисления в другую. Но зачем нам с вами это надо? Конечно для того, чтобы производить расчеты. С 1 класса нас учат производить расчеты в десятичной системе счисления. А как вы думаете, можно ли производить расчеты в произвольной позиционной системе счисления? И зачем это нужно?

Двоичная система счисления издавна была предметом пристального внимания многих ученых. Первый кто заговорил о двоичном кодировании, был Лейбниц Готфрид Вильгельм. Он написал трактат «Expication de l’Arithmetique Binary» — об использовании двоичной системы счисления в вычислительных машинах. В рукописи на латинском языке, написанной в марте 1679 года, Лейбниц разъясняет, как выполнять вычисление в двоичной системе, в частности умножение, а позже в общих чертах разрабатывает проект вычислительной машины, работающей в двоичной системе счисления. Вот что он пишет: « Вычисления такого рода можно было бы выполнять и на машине». Эти слова подчеркивают универсальность алфавита, состоящего из двух символов.

Все позиционные системы счисления “одинаковы”, а именно, во всех них выполняются арифметические операции по одним и тем же правилам:

— справедливы одни и те же законы арифметики: коммутативный (переместительный), ассоциативный (сочетательный), дистрибутивный (распределительный);

— справедливы правила сложения, вычитания, умножения и деления столбиком.

Мы узнаем на уроке:

как строить таблицы сложения и умножения в заданной позиционной системе счисления;
как выполнять сложение, умножение, вычитание и деление чисел, записанных в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления;
как подсчитывать количество единиц в двоичной записи числа, являющегося результатом суммирования или вычитания степеней двойки.

Арифметические операции в позиционных системах счисления с основанием q выполняются по правилам, аналогичным правилам, действующим в десятичной системе счисления.

Чтобы в системе счисления с основанием q получить сумму S двух чисел A и B, надо просуммировать образующие их цифры по разрядам i справа налево:

a_i + b_i 4000 + 4 2016 + 2 2018 – 8 600 + 6

Представим все операнды исходного выражения в виде степеней двойки:

Исходное выражение 2 4000 + 4 2016 + 2 2018 – 8 600 + 6

примет вид 2 4000 + 2 4032 + 2 2018 – 2 1800 + 2 2 + 2 1

Перепишем выражение в порядке убывания степеней: 2 4032 + 2 4000 + 2 2018 – 2 1800 + 2 2 + 2 1

Для работы с десятичными числами вида 2 n полезно иметь в виду следующие закономерности в их двоичной записи:

2 1 = 10 = 1 + 1; 2 2 = 100 = 11 + 1; 2 3 = 1000 = 111 + 1; …

В общем виде

Для натуральных n и m таких, что n > m, получаем:

Эти соотношения позволят подсчитать количество «1» в выражении без вычислений. Двоичные представления чисел 2 4032 и 2 4000 внесут в двоичное представление суммы по одной «1». Разность 2 2018 – 2 1800 в двоичной записи представляет собой цепочку из 218 единиц и следующих за ними 1800 нулей. Слагаемые 2 2 и 2 1 дают ещё 2 единицы.

Так как в задаче надо найти единицы, то получаем:

Итого: 1 + 1 + 218 + 1 + 1 = 222.

Давайте разберем еще одну задачу.

Найдём количество цифр в восьмеричной записи числа, являющегося результатом десятичного выражения: 2 299 + 2 298 + 2 297 + 2 296 .

Двоичное представление исходного числа имеет вид:

Всего в этой записи 300 двоичных символов. При переводе двоичного числа в восьмеричную систему счисления каждая триада исходного числа заменяется восьмеричной цифрой. Следовательно, восьмеричное представление исходного числа состоит из 100 цифр.

Итак, сегодня вы узнали, что арифметические операции в позиционных системах счисления с основанием q выполняются по правилам, аналогичным правилам, действующим в десятичной системе счисления. Если необходимо вычислить значение арифметического выражения, операнды которого представлены в различных системах счисления, можно:

все операнды представить в привычной нам десятичной системе счисления;
вычислить результат выражения в десятичной системе счисления;
перевести результат в требуемую систему счисления.

Для работы с десятичными числами вида 2 n , полезно иметь ввиду следующие закономерности в их двоичной записи:

Для натуральных n и m таких, что n > m, получаем:

Выберите выражения, значения которых одинаковые.

Возьми карандаш и подчеркни результат сложения

1. Найди сумму и запиши в двоичной системе счисления 153₈ + F9₁₆

3. Найди произведение и запиши в двоичной системе счисления 122₃ * 11₂

6. Выполни операцию деления 10010000₂ / 1100₂

7. Реши пример, ответ запиши в десятичной системе счисления (564₈ + 234₈) * C₁₆

2. Разность двоичных чисел 11001100 – 11111

4. Найти разность 167₈ – 56₈

5. Выполнить операцию деления 41612₈ / 12₈

8. Найти разность 12E₁₆ – 79₁₆ ответ запиши в десятичной системе счисления

голоса

Рейтинг статьи

Выполнение арифметических операций в позиционных системах счисления. Арифметические операции в позиционных системах счисления. Проверка домашнего задания