Составление таблицы истинности логической функции. Логические выражения и их преобразование

Логические выражения и таблица истинности

Логические выражения и таблица истинности

Таблица истинности — таблица, показывающая, какие значения принимает составное высказывание при всех сочетаниях (наборах) значений входящих в него простых высказываний.

Логическое выражение — составные высказывания в виде формулы.

Равносильные логические выражения – логические выражения, у которых последние столбцы таблиц истинности совпадают. Для обозначения равносильности используется знак «=».

Алгоритм построения таблицы истинности:

1. подсчитать количество переменных n в логическом выражении;

2. определить число строк в таблице по формуле m=2 n , где n — количество переменных;

3. подсчитать количество логических операций в формуле;

4. установить последовательность выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов;

5. определить количество столбцов: число переменных + число операций;

6. выписать наборы входных переменных;

7. провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной в пункте 4 последовательностью.

Заполнение таблицы:

1. разделить колонку значений первой переменной пополам и заполнить верхнюю часть «0», а нижнюю «1»;

2. разделить колонку значений второй переменной на четыре части и заполнить каждую четверть чередующимися группами «0» и «1», начиная с группы «0»;

3. продолжать деление колонок значений последующих переменных на 8, 16 и т.д. частей и заполнение их группами «0» или «1» до тех пор, пока группы «0» и «1» не будут состоять из одного символа.

Пример 1. Для формулы A/ (B / ¬B /¬C) постройте таблицу истинности.

Количество логических переменных 3, следовательно, количество строк — 2 3 = 8.

Количество логических операций в формуле 5, количество логических переменных 3, следовательно количество столбцов — 3 + 5 = 8.

Пример 2. Определите истинность логического выражения F(А, В) = (А/ В)/(¬А/¬В) .

1. В выражении две переменные А и В (n=2).

2. m_строк=2 n , m=2 2 =4 строки.

3. В формуле 5 логических операций.

4. Расставляем порядок действий

1) А/ В; 2) ¬А; 3) ¬В; 4) ¬А/¬В; 5) (А/ В)/(¬А/¬В).

5. К_{столбцов}=n+5=2+5=7 столбцов.

Построить таблицу истинности следующих логических выражений

Проблема определения истинности выражения встаёт перед многими науками. Любая доказательная дисциплина должна опираться на некоторые критерии истинности доказательств. Наука, изучающая эти критерии, называется алгеброй логики. Основной постулат алгебры логики заключается в том, что любое самое витиеватое утверждение может быть представлено в виде алгебраического выражения из более простых утверждений, истинность или ложность которых легко определить.

Для любого “алгебраического” действия над утверждением задаётся правило определения истинности или ложности измененного утверждения, исходя из истинности или ложности исходного утверждения. Эти правила записываются через таблицы истинности выражения. Прежде, чем составлять таблицы истинности, надо поближе познакомиться с алгеброй логики.

Алгебраические преобразования логических выражений

Любое логическое выражение, как и его переменные (утверждения), принимают два значения: ложь или истина. Ложь обозначается нулём, а истина – единицей. Разобравшись с областью определения и областью допустимых значений, мы можем рассмотреть действия алгебры логики.

Отрицание

Отрицание и инверсия – самое простое логическое преобразование. Ему соответствует частица “не.” Это преобразование просто меняет утверждение на противоположное. Соответственно, значение утверждения тоже меняется на противоположное. Если утверждение А истинно, то “не А” – ложно. Например, утверждение “прямой угол – это угол, равный девяносто градусов” – истина. Тогда его отрицание “прямой угол не равен девяноста градусам” – ложь.

Таблица истинности для отрицания будет такова:

Конъюнкция

Конъюнкция аналогична умножению и соответствует союзу “и”. Такое выражение будет верно, только если верны все утверждения, объединённые конъюнкцией. То есть, утверждение “А и Б” будет истинным, только если А – истина и Б – истина. Во всех остальных случаях выражение “А и Б” ложно. Например, высказывание “Земля круглая и плоская” будет ложно, так как первая часть истина, а вторая – ложь.

Таблица истинности конъюнкции

Дизъюнкция

Эта операция может быть обычной или строгой, их результаты будут различаться.

Обычная дизъюнкция или логическое сложение соответствует союзу “или”. Она будет истинной если хотя бы одно из утверждений, входящих в неё – истина. Например, выражение “Земля круглая или стоит на трёх китах” будет истинным, так как первое утверждение – истинно, хоть второе и ложно.В таблице это будет выглядеть так:

Строгую дизъюнкцию или сложение по модулю также называют “исключающим или”. Эта операция может принимать вид грамматической конструкции “одно из двух: либо . либо . “. Здесь значение логического выражения будет ложным, если все утверждения, входящие в него, имеют одинаковую истинность. То есть, оба утверждения либо вместе истинны, либо вместе ложны.

Таблица значений исключающего или

Импликация и эквивалентность

Импликация представляет собой следствие и грамматически может быть выражена как “из А следует Б”. Здесь утверждение А будет называться предпосылкой, а Б – следствием. Импликация может быть ложной, только в одном случае: если предпосылка истинна, а следствие ложно. То есть, ложь не может следовать из истины. Во всех остальных случаях импликация истинна. Варианты, когда оба утверждения имеют одинаковую истинность, вопросов не вызывают. Но почему верное следствие из неверной предпосылки — истина? Дело в том, что из ложной предпосылки может следовать что угодно. Это и отличает импликацию от эквивалентности.

В математике (и других доказательных дисциплинах) импликация используется для указания необходимого условия. Например, утверждение А – “точка О – экстремум непрерывной функции”, утверждение Б – “производная непрерывной функции в точке О обращается в ноль”. Если О, действительно, точка экстремума непрерывной функции, то производная в этой точке будет, и вправду, равна нулю. Если же О не является точкой экстремума, то производная в этой точке может быть нулевой, а может не быть. То есть Б необходимо для А, но не достаточно.

Таблица истинности для импликации выглядит следующим образом:

Логическая операция эквивалентность, по сути, является взаимной импликацией. “А эквивалентно Б” означает, что “из А следует Б” и “из Б следует А” одновременно. Эквивалентность верна, когда оба утверждения либо одновременно верные, либо одновременно неверные.

В математике эквивалентность используется для определения необходимого и достаточного условия. Например, утверждение А – “Точка О является точкой экстремума непрерывной функции”, утверждение Б – “В точке О производная функции обращается в ноль и меняет знак”. Эти два утверждения эквивалентны. Б содержит необходимое и достаточное условие для А. Обратите внимание, что в данном примере утверждений Б на самом деле является конъюнкцией двух других: “производная в точке О обращается в ноль” и “производная в точке О меняет знак”.

Прочие логические функции

Выше были рассмотрены основные логические операции, которые часто используются. Есть и другие функции, которые используются:

• Штрих Шеффера или несовместимость представляет собой отрицание конъюнкции А и Б
• Стрелка Пирса представляет сбой отрицание дизъюнкции.

Построение таблиц истинности

Чтобы построить таблицу истинности для какого-либо логического выражения, надо действовать в соответствии с алгоритмом:

1. Разбить выражение на простые утверждения и обозначить каждое из них как переменную.
2. Определить логические преобразования.
3. Выявить порядок действий этих преобразований.
4. Сосчитать строки в будущей таблице. Их количество равно два в степени N, где N – число переменных, плюс одна строка для шапки таблицы.
5. Определить число столбцов. Оно равно сумме количества переменных и количества действий. Можно представлять результат каждого действия в виде новой переменной, если так будет понятней.
6. Шапка заполняется последовательно, сначала все переменные, потом результаты действий в порядке их выполнения.
7. Заполнение таблицы надо начать с первой переменной. Для неё количество строк делится пополам. Одна половина заполняется нулями, вторая – единицами.
8. Для каждой следующей переменной нули и единицы чередуются вдвое чаще.
9. Таким образом заполняются все столбцы с переменными и для последней переменной значение меняется в каждой строке.
10. Потом последовательно заполняются результаты всех действий.

В итоге последний столбец отобразит значение всего выражения в зависимости от значения переменных.

Отдельно следует сказать о порядке логических действий. Как его определить? Здесь, как и в алгебре, есть правила, задающие последовательность действий. Они выполняются в следующем порядке:

1. выражения в скобках;
2. отрицание или инверсия;
3. конъюнкция;
4. строгая и обычная дизъюнкция;
5. импликация;
6. эквивалентность.

Примеры

Для закрепления материала можно попробовать составить таблицу истинности для ранее упомянутых логических выражений. Рассмотрим три примера:

• Штрих Шеффера.
• Стрелка Пирса.
• Определение эквивалентности.

Штрих Шеффера

Штрих Шеффера – это логическое выражение, которое можно записать в виде “не (А и Б)”. Здесь две переменные, и два действия. Конъюнкция в скобках, значит, она выполняется первой. В таблице будет шапка и четыре строки со значениями переменных, а также четыре столбца. Заполним таблицу:

Информатика. 10 класс

Конспект урока

Информатика, 10 класс. Урок № 12.

Тема — Преобразование логических выражений

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме: основные законы алгебры логики, преобразование логических выражений, логические функции, построение логического выражения с данной таблицей истинности и его упрощение, дизъюнктивная и конъюнктивная нормальная форма, совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ), совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ).

Глоссарий по теме: основные законы алгебры логики, логические функции, дизъюнктивная и конъюнктивная нормальная форма, совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ), совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ)

Основная литература по теме урока:

Л. Л. Босова, А. Ю. Босова. Информатика. Базовый уровень: учебник для 10 класса

— М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2017 (с.197—209)

Открытые электронные ресурсы по теме:

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Способ определения истинности логического выражения путем построения его таблицы истинности становится неудобным при увеличении количества логических переменных, т.к. за счет существенного увеличения числа строк таблицы становятся громоздкими. В таких случаях выполняются преобразования логических выражений в равносильные. Для этого используют свойства логических операций, которые иначе называют законами алгебры логики.

Основные законы алгебры логики

Справедливость законов можно доказать построением таблиц истинности.

Пример 1. Упростим логическое выражение

Последовательно применим дистрибутивный закон и закон исключенного третьего:

В общем случае можно предложить следующую последовательность действий:

1. Заменить операции строгая дизъюнкция, импликация, эквиваленция на их выражения через операции конъюнкция, дизъюнкция, инверсия;
2. Раскрыть отрицания сложных выражений по законам де Моргана.
3. Используя законы алгебры логики, упростить выражение.

Пример 2. Упростим логическое выражение .

Здесь последовательно использованы замена операции импликация, закон де Моргана, распределительный закон, закон противоречия и операция с константой, закон идемпотентности и поглощения.

Аналогичные законы выполняются для операции объединения, пересечения и дополнения множеств. Например:

Пример 3. На числовой прямой даны отрезки B = [2;12] и C = [7;18]. Каким должен быть отрезок A, чтобы предикат становился истинным высказыванием при любых значениях x.

Преобразуем исходное выражение, избавившись от импликации:

A, B, C — множества. Для них можно записать (U — универсальное множество).

Будем считать, что.

Тогда , причем это минимально возможное множество А.

Так как множество B — это отрезок [2;12], а множество — это промежутки и, то пересечением этих множеств будет служить промежуток . В качестве ответа мы можем взять этот промежуток, а также любой другой, его включающий.

Пример 4. Для какого наименьшего неотрицательного целого десятичного числа а выражение

тождественно истинно (т. е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении десятичной переменной х)? Здесь & — поразрядная конъюнкция двух неотрицательных целых десятичных чисел.

Перепишем исходное выражение в наших обозначениях и преобразуем его:

Рассмотрим предикат . В числе 28₁₀=11100₂ 4-й, 3-й и 2-й биты содержат единицы, а 1-й и 0-й — нули. Следовательно, множеством истинности этого предиката являются такие числа х, у которых хотя бы один из битов с номерами 4, 3 или 2 содержит единицу. Если и 4-й, и 3-й, и 2-й биты числа х нулевые, то высказывание будет ложным.

Рассмотрим предикат . В числе 45₁₀=101101₂ 5-й, 3-й, 2-й и 0-й биты содержат единицы, 4-й и 1-й — нули. Следовательно, множеством истинности этого предиката являются такие числа х, у которых хотя бы один из битов с номерами 5, 3, 2 или 0 содержит единицу. Если и 5-й, и 3-й, и 2-й, и 0-й биты числа х нулевые, то высказывание будет ложным.

Рассмотрим предикат . В числе 17₁₀=10001₂ 3-й, 2-й и 1-й биты содержат нули, 4-й и 0-й — единицы. Побитовая конъюнкция 17 и х будет равна 0, если в числе х 4-й и 0-й биты будут содержать нули. Множество истинности этого предиката — все х с нулями в 4-м и 0-м битах.

По условию задачи надо, чтобы .

Запишем это выражение для рассмотренных множеств истинности:

Так как , примем .

Объединением множеств M и N являются все двоичные числа, у которых хотя бы один из битов с номерами 5, 4, 3, 2, 0 содержит единицу. Пересечением этого множества с множеством K будут все двоичные числа, у которых биты с номерами 4 и 0 будут заняты нулями, т.е. такие двоичные числа, у которых хотя бы один из битов с номерами 5, 3, 2 содержит 1. Все эти числа образуют множество А.

Искомое число a должно быть таким, чтобы при любом неотрицательном целом значении переменной х: , и, кроме того, оно должно быть минимальным из возможных. Этим условиям удовлетворяет число 101100₂ = 44₁₀.

Значение любого логического выражения определяется значениями входящих в него логических переменных. Тем самым логическое выражение может рассматриваться как способ задания логической функции.

Совокупность значений n аргументов удобно интерпретировать как строку нулей и единиц длины n. Существует ровно различных двоичных строк длины n. Так как на каждой такой строке некая функция может принимать значение 0 или 1, общее количество различных булевых функций от n аргументов равно .

Для n=2 существует 16 различных логических функций. Рассмотрим их подробнее.

Построение таблиц истинности и логических функций

Таблица истинности – таблица, показывающая, какие значения принимает составное высказывание при всех сочетаниях (наборах) значений входящих в него простых высказываний.

Логическое выражение – составные высказывания в виде формулы.

Равносильные логические выражения – логические выражения, у которых последние столбцы таблиц истинности совпадают. Для обозначения равносильности используется знак «=».

1. Логическое умножение или конъюнкция:

Конъюнкция – это сложное логическое выражение, которое считается истинным в том и только том случае, когда оба простых выражения являются истинными, во всех остальных случаях данное сложенное выражение ложно.
Обозначение: F = A & B.

Таблица истинности для конъюнкции

2. Логическое сложение или дизъюнкция:

Дизъюнкция – это сложное логическое выражение, которое истинно, если хотя бы одно из простых логических выражений истинно и ложно тогда и только тогда, когда оба простых логических выражения ложны.
Обозначение: F = A + B.

Таблица истинности для дизъюнкции

3. Логическое отрицание или инверсия:

Инверсия – это сложное логическое выражение, если исходное логическое выражение истинно, то результат отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное логическое выражение ложно, то результат отрицания будет истинным. Другими простыми слова, данная операция означает, что к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО.

Таблица истинности для инверсии

4. Логическое следование или импликация:

Импликация – это сложное логическое выражение, которое истинно во всех случаях, кроме как из истины следует ложь. То есть данная логическая операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием (А), а второе (В) является следствием.

Таблица истинности для импликации

5. Логическая равнозначность или эквивалентность:

Эквивалентность – это сложное логическое выражение, которое является истинным тогда и только тогда, когда оба простых логических выражения имеют одинаковую истинность.

Таблица истинности для эквивалентности

Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении представлены в пункте 3.2.

Алгоритм построения таблиц истинности для сложных выражений:

1. Определить количество строк:

количество строк = 2 n + строка для заголовка,

n – количество простых высказываний.

2. Определить количество столбцов:

количество столбцов = количество переменных + количество логических операций;

– определить количество переменных (простых выражений);

– определить количество логических операций и последовательность их выполнения.

3. Заполнить столбцы результатами выполнения логических операций в обозначенной последовательности с учетом таблиц истинности основных логических операций.

Пример: Составить таблицу истинности логического выражения:

D = А & (B Ú C).

Решение: Ù

1. Определить количество строк:

на входе три простых высказывания: А, В, С поэтому n=3 и количество строк = 2 3 +1 = 9.

2. Определить количество столбцов:

– простые выражения (переменные): А, В, С;

-промежуточные результаты (логические операции):

А– инверсия (обозначим через E);

B Ú C– операция дизъюнкции (обозначим через F);

а также искомое окончательное значение арифметического выражения:
D = А & (B Ú C). т.е. D = E & F – это операция конъюнкции.

3. Заполнить столбцы с учетом таблиц истинности логических операций.

Построение логической функции по ее таблице истинности:

Попробуем решить обратную задачу. Пусть дана таблица истинности для некоторой логической функции Z(X,Y):

Составить логическую функцию для заданной таблицы истинности.

Правила построения логической функции по ее таблице истинности:

1. Выделить в таблице истинности те строки, в которых значение функции равно 1.

2. Выписать искомую формулу в виде дизъюнкции нескольких логических элементов. Число этих элементов равно числу выделенных строк.

3. Каждый логический элемент в этой дизъюнкции записать в виде конъюнкции аргументов функции.

4. Если значение какого-либо аргумента функции в соответствующей строке таблице равно , то этот аргумент взять с отрицанием.

Решение.

1. В первой и третьей строках таблицы истинности значение функции равно 1.

2. Так как строки две, получаем дизъюнкцию двух элементов: ( ) V ( ).

3. Каждый логический элемент в этой дизъюнкции запишем в виде конъюнкции аргументов функции X и Y: (X & Y) V (X & Y).

4. Берем аргумент с отрицанием если его значение в соответствующей строке таблицы равно и получаем искомую функцию: Z (X, Y)=(X& Y) V (X & Y).

Пример. Для формулы A/(B/ B/C) постройте таблицу истинности.

Количество логических переменных 3, следовательно, количество строк – 2 3 = 8. Количество логических операций в формуле 5, количество логических переменных 3, следовательно, количество столбцов – 3 + 5 = 8.

Пример . Определите истинность логического выражения F(А,В) = (А/ В)/(А/В) .

1. В выражении две переменные А и В (n=2).

2. m_строк=2 n , m=2 2 =4 строки.

3. В формуле 5 логических операций.

4. Расставляем порядок действий.

1) А/ В; 2) А; 3) В; 4) А/В; 5) (А/ В)/(А/В).

5. К_{столбцов}=n+5=2+5=7 столбцов.

Вывод: логическое выражение принимает значение истина при наборах F(0,1)=1 и F(1,0)=1.

Пример. Построите таблицу истинности для логического выражения

1. В данной функции три логические переменные – А, В, С.

2. Количество строк таблицы = 2 3 =8.

3. В формуле 3 логические операции.

4. Расставляем порядок действий: 1. А/ В; 2. С; 3. (AVB)/С.

5. Количество столбцов таблицы = 3 + 3 = 6.

Пример. Определите истинность формулы: F =((С/В)=>В)/(А /В) =>В. Построим таблицу истинности этой формулы.

Ответ: формула является тождественно истинной.

Пример. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z.

Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

Какое выражение соответствует F?

Решение (вариант 1, через таблицы истинности):

Чтобы решить данную задачу можно построить часть таблицы истинности для каждой из четырех функций, заданных в ответе для заданных наборов входных переменных, и сравнить полученные таблицы с исходной:

Очевидно, что значения заданной функции F совпадают со значениями выражения X/Y/Z. Следовательно, правильный ответ – 3.

Решение (вариант 2):

Чтобы не строить таблицу истинности для каждого выражения, можно просто перепроверить предложенные ответы по заданной таблице истинности. Т.е. в каждую из четырех предложенных функций последовательно подставлять значения переменных X, Y и Z, из заданной таблицы истинности и вычислять значения логического выражения. Если значения вычисляемого выражения совпадут со значением F во всех трех строчках заданной таблицы, то это и есть искомое выражение.

Рассмотрим данный конкретный пример:

1) первое заданное выражение X/Y/Z= 0 при X=0, Y=0, Z=0, что не соответствует первой строке таблицы;

2) второе заданное выражение X/Y/Z= 1 при X=0, Y=0, Z=1, что не соответствует второй строке таблицы;

3) третье выражение X/Y/Z соответствует F при всех предложенных комбинациях X, Y и Z;

4) четвертое выражение X/Y/Z = 1 при X=0, Y=0, Z=1, что не соответствует второй строке таблицы. Ответ 3.

Пример. Составить таблицу истинности для логических функции

.

1. Определить порядок действий: .

2. Определить размерность таблицы истинности.

«Шапка» таблицы содержит две строки-номера действий и логические операции действий. Количество столбцов определяется количеством логических переменных (их две А, В) и количеством действий (их тоже два).

1. Количество строк в таблице равно двойке в степени, равной количеству логических переменных – в случае двух переменных получается 4 строки.

Логические функции булевой алгебры, схемы, таблицы истинности

В данной статье мы начнем обозревать булевую алгебру или алгебру логики. Рассмотрим элементы функции на схеме, а так же приведем таблицы истинности для всех логических функций.

Введение в булевую алгебру

В 1854 году Джордж Буль провел исследование «законов мышления», которые основывались на упрощенной версии теории «групп» или «множеств», и из этого была выведена булевая алгебра.

Булева алгебра имеет дело, главным образом, с теорией, согласно которой логические операции и операции над множествами являются либо «ИСТИННЫМИ», либо «ЛОЖНЫМИ», но не обеими одновременно.

Например, A + A = A, а не 2A, как это было бы в обычной алгебре. Булева алгебра — это простой и эффективный способ представления действия переключения стандартных логических вентилей, а основные логические операторы, которые нас здесь интересуют, задаются операциями логических вентилей функций И , ИЛИ и НЕ.

Логическая функция «И» (умножение)

Функция логики И утверждает, что два или более события должны происходить вместе и одновременно, чтобы происходило выходное действие. Порядок, в котором происходят эти действия, не имеет значения, поскольку он не влияет на конечный результат. Например, & B = B & . В булевой алгебре функция логики И подчиняется коммутативному закону, который допускает изменение положения любой переменной.

Функция «И» представлена в электронике символом точки или полной остановки ( . ) Таким образом, 2-входное ( АВ ) «И» элемент имеет выходной термин, представленный логическим выражением A.B или просто AB.

Представление функции «И» на схеме

Здесь два переключателя A и B соединены вместе, образуя последовательную цепь. Поэтому в вышеупомянутой цепи оба выключателя A «И» B должны быть замкнуты (логика «1»), чтобы включить лампу. Другими словами, оба переключателя должны быть замкнуты или должны иметь логическую «1», чтобы лампа горела.

Тогда логический элемент этого типа (логический элемент «И» ) создает выход только тогда, когда все его входы истины. В терминах булевой алгебры вывод будет ИСТИНА, только когда все его входы ИСТИНА. В электрическом смысле логическая функция «И» равна последовательной цепи, как показано выше.

Поскольку имеется только два переключателя, каждый с двумя возможными состояниями «открытый» или «закрытый». Определяя логическую «0» как то, когда переключатель разомкнут, и логическую «1», когда переключатель замкнут, существует четыре различных способа или комбинации расположения двух переключателей вместе, как показано в таблице ниже.

Таблица истинности для функции «И»

Логические «И» элементы доступны как стандартные пакеты ic, такие как общие TTL 74LS08 Четырехпозиционные 2-входные положительные элементы «И» (или эквивалент CMOS 4081), TTL 74LS11 Тройные 3-входные положительные элементы «И» или 74LS21 Двойные 4-входные положительные элементы «И». «И» ворота можно также «каскадировать» вместе для создания цепей с более чем 4 входами.

Логическая функция «ИЛИ» (сложение)

Функция логического «ИЛИ» заявляет, что выходное действие станет ИСТИНОЙ, если одно «ИЛИ» больше событий ИСТИНЫ, но порядок, в котором они происходят, не имеет значения, поскольку он не влияет на конечный результат.

Так , например, А + В = В + А . В булевой алгебре функция логического «ИЛИ» подчиняется коммутативному закону так же, как и для логической функции «И», что позволяет изменять положение любой переменной.

Логика или логическое выражение, данное для логического элемента «ИЛИ», является логическим выражением, которое обозначается знаком плюс, ( + ). Таким образом, 2-входной ( АВ ) Логический элемент «ИЛИ» имеет выход термин, представленный булевой выражением: A + B = Q .

Представление функции «ИЛИ» на схеме

Здесь два переключателя А и B соединены параллельно и, либо переключатель A «ИЛИ» переключатель B может быть закрыт, чтобы включить лампу. Другими словами, выключатель может быть замкнут, либо быть на логике «1», чтобы лампа была включена.

Тогда этот тип логического элемента генерирует и выводит только тогда, когда присутствует «ЛЮБОЙ» из его входов, и в терминах Булевой алгебры выход будет ИСТИНА, если любой из его входов ИСТИНЕН. В электрическом смысле логическая функция «ИЛИ» равна параллельной цепи.

Как и в случае с функцией «И», есть два переключателя, каждый с двумя возможными положениями, открытыми или закрытыми, поэтому будет 4 различных способа расположения переключателей.

Таблица истинности для функции «ИЛИ»

Логические «ИЛИ» элементы доступны в виде стандартных пакетов ic, таких как общие TTL 74LS32 Четырехместные 2-входные положительные «ИЛИ» элементы. Как и в предыдущем логическом элементе «И», «ИЛИ» также может быть «каскадно» соединен для создания цепей с большим количеством входов, таких как системы охранной сигнализации (зона A или зона B или зона C и т.д.).

Логическая функция «НЕ» (отрицание)

Функция «Логическое НЕ» — это просто инвертор с одним входом, который изменяет вход логического уровня «1» на выход логического уровня «0» и наоборот.

«Функция логического НЕ» называется так, потому что ее выходное состояние НЕсовпадает с его входным состоянием с ее логическим выражением, обычно обозначаемым чертой или линией ( ¯ ) над его входным символом, который обозначает операцию инвертирования (отсюда ее название как инвертор).

Поскольку логическое «НЕ» выполняет логическую функцию инвертирования или комплементационной, их чаще называют инверторами, поскольку они инвертируют сигнал. В логических схемах это отрицание может быть представлено нормально замкнутым переключателем.

Представление функции «НЕ» на схеме

Если A означает, что переключатель замкнут, то «НЕ» A или А (с верхней чертой) говорит, что переключатель НЕ замкнут или, другими словами, он разомкнут. Функция логического НЕ имеет один вход и один выход, как показано на рисунке.

Таблица истинности для функции «НЕ»

Индикатор инверсии для логической функции «НЕ» является символом «пузыря», ( O) на выходе (или входе) символа логических элементов. В булевой алгебре инвертирующая логическая функция «НЕ» следует Закону дополнения, создающему инверсию.

Логические «НЕ» элементы или «Инверторы», как их чаще называют, могут быть связаны со стандартными элементами «И» и» ИЛИ» для создания элементов «НЕ И» и «НЕ ИЛИ» соответственно. Инверторы также могут использоваться для генерации «дополнительных» сигналов в более сложных декодерах / логических схемах, например, дополнение логики A — это «НЕ» A , а два последовательно соединенных инвертора дают двойную инверсию, которая выдает на своем выходе исходное значение A.

При проектировании логических схем вам может понадобиться только один или два инвертора в вашей конструкции, но если у вас нет места или денег для выделенного чипа инвертора, такого как 74LS04. Тогда вы можете легко заставить логику «НЕ» функционировать, используя любые запасные элементы «НЕ А» или «НЕ ИЛИ», просто соединяя их входы вместе, как показано ниже.

Логическая функция «НЕ И»

Функция «НЕ И» представляет собой комбинацию двух отдельных логических функций, функции «И» и функции «НЕ» последовательно. Логическая функция «НЕ И» может быть выражена логическим выражением AB (с верхней чертой)

Функция логического «НЕ И» генерирует выход, только когда «ЛЮБЫЕ» из ее входов отсутствуют, и в терминах булевой алгебры выход будет ИСТИНА, только когда любой из ее входов ЛОЖЬ (0).

Представление функции «НЕ И» на схеме

Таблица истинности для функции «НЕ И» противоположна таблице для предыдущей функции «И», потому что элемент «НЕ И» выполняет обратную операцию элемента «И». Другими словами, элемент «НЕ И» является дополнением элемента «И».

Таблица истинности для функции «НЕ И»

Функция «НЕ И» обозначается вертикальной чертой или стрелкой вверх, например, логический B = A | Bили A ↑ B .

Логика «НЕ И» используется в качестве основных «строительных блоков», чтобы построить другие функции логического элемента и доступны в стандартных IC пакетов, такие как общий TTL — 74LS00 Четырехместный 2-входной «НЕ И» элемент, TTL — 74LS10 Тройной 3-входной «НЕ И» элемент или 74LS20 Двойной 4-х входной «НЕ И» элемент. Есть даже один чип 74LS30 с 8 входами «НЕ И» элемента.

Логическая функция «НЕ ИЛИ»

Логический элемент «НЕ ИЛИ» представляет собой комбинацию двух отдельных логических функций, «НЕ» и «ИЛИ», соединенных вместе, чтобы сформировать единую логическую функцию, которая идентична функции «ИЛИ», за исключением того, что выход инвертирован.

Чтобы создать вентиль «НЕ ИЛИ», функция «ИЛИ» и функция «НЕ» соединены вместе последовательно, и ее операция определяется булевым выражением как, A + B (с верхней чертой).

Функция логического «НЕ ИЛИ» генерирует и выводит только тогда, когда отсутствуют «ВСЕ» ее входы, и в терминах булевой алгебры выход будет ИСТИНА только тогда, когда все ее входы ЛОЖНЫ .

Представление функции «НЕ ИЛИ» на схеме

Таблица истинности для функции «НЕ ИЛИ» противоположна таблице для предыдущей функции «ИЛИ», потому что элемент «НЕ ИЛИ» выполняет обратную операцию элемента «ИЛИ». Тогда мы можем видеть, что элемент «НЕ ИЛИ» является дополнением элемента «ИЛИ».

Таблица истинности для функции «НЕ ИЛИ»

Функция «НЕ ИЛИ» иногда известна как функция Пирса и обозначается стрелкой вниз, А «НЕ ИЛИ» B = A ↓ B.

Логика элемента «НЕ ИЛИ» доступны как стандартные IC пакетов, таких как TTL 74LS02 Четырехместный 2-входной элемент «НЕ ИЛИ», TTL 74LS27 Тройной 3-входной элемент «НЕ ИЛИ» или 74LS260 Двойной 5-входной элемент «НЕ ИЛИ».

Построение таблицы истинности. СДНФ. СКНФ. Полином Жегалкина.

Онлайн калькулятор позволяет быстро строить таблицу истинности для произвольной булевой функции или её вектора, рассчитывать совершенную дизъюнктивную и совершенную конъюнктивную нормальные формы, находить представление функции в виде полинома Жегалкина, строить карту Карно и классифицировать функцию по классам Поста.

Калькулятор таблицы истинности, СКНФ, СДНФ, полинома Жегалкина

введите функцию или её вектор

Построено таблиц, форм: 4061

Как пользоваться калькулятором

1. Введите в поле логическую функцию (например, x1 ∨ x2) или её вектор (например, 10110101)
2. Укажите действия, которые необходимо выполнить с помощью переключателей
3. Укажите, требуется ли вывод решения переключателем “С решением”
4. Нажмите на кнопку “Построить”

Видеоинструкция к калькулятору

Используемые символы

В качестве переменных используются буквы латинского и русского алфавитов (большие и маленькие), а также цифры, написанные после буквы (индекс переменной). Таким образом, именами переменных будут: a , x , a1 , B , X , X1 , Y1 , A123 и так далее.

Для записи логических операций можно использовать как обычные символы клавиатуры ( * , + , ! , ^ , -> , = ), так и символы, устоявшиеся в литературе ( ∧ , ∨ , ¬ , ⊕ , → , ≡ ). Если на вашей клавиатуре отсутствует нужный символ операции, то используйте клавиатуру калькулятора (если она не видна, нажмите “Показать клавиатуру”), в которой доступны как все логические операции, так и набор наиболее часто используемых переменных.

Для смены порядка выполнения операций используются круглые скобки ().

Обозначения логических операций

• И (AND): & • ∧ *
• ИЛИ (OR): ∨ +
• НЕ (NOT): ¬ !
• Исключающее ИЛИ (XOR): ⊕ ^
• Импликация: -> → =>
• Эквивалентность: =

Что умеет калькулятор

• Строить таблицу истинности по функции
• Строить таблицу истинности по двоичному вектору
• Строить совершенную конъюнктивную нормальную форму (СКНФ)
• Строить совершенную дизъюнктивную нормальную форму (СДНФ)
• Строить полином Жегалкина (методами Паскаля, треугольника, неопределённых коэффициентов)
• Определять принадлежность функции к каждому из пяти классов Поста
• Строить карту Карно
• Минимизировать ДНФ и КНФ
• Искать фиктивные переменные

Что такое булева функция

Булева функция f(x₁, x₂, . x_n) — это любая функция от n переменных x₁, x₂, . x_n, в которой её аргументы принимают одно из двух значений: либо 0, либо 1, и сама функция принимает значения 0 или 1. То есть это правило, по которому произвольному набору нулей и единиц ставится в соответствие значение 0 или 1. Подробнее про булевы функции можно посмотреть на Википедии.

Что такое таблица истинности?

Таблица истинности — это таблица, описывающая логическую функцию, а именно отражающую все значения функции при всех возможных значениях её аргументов. Таблица состоит из n+1 столбцов и 2 n строк, где n – число используемых переменных. В первых n столбцах записываются всевозможные значения аргументов (переменных) функции, а в n+1-ом столбце записываются значения функции, которые она принимает на данном наборе аргументов.

Довольно часто встречается вариант таблицы, в которой число столбцов равно n + число используемых логических операций. В такой таблице также первые n столбцов заполнены наборами аргументов, а оставшиеся столбцы заполняются значениями подфункций, входящих в запись функции, что позволяет упростить расчёт конечного значения функции за счёт уже промежуточных вычислений.

Логические операции

Логическая операция — операция над высказываниями, позволяющая составлять новые высказывания путём соединения более простых. В качестве основных операций обычно называют конъюнкцию (∧ или &), дизъюнкцию (∨ или |), импликацию (→), отрицание (¬), эквивалентность (=), исключающее ИЛИ (⊕).

Таблица истинности логических операций

Как задать логическую функцию

Есть множество способов задать булеву функцию:

• таблица истинности
• характеристические множества
• вектор значений
• матрица Грея
• формулы

Рассмотрим некоторые из них:

Чтобы задать функцию через вектор значений необходимо записать вектор из 2 n нулей и единиц, где n – число аргументов, от которых зависит функция. Например, функцию двух аргументов можно задать так: 0001 (операция И), 0111 (операция ИЛИ).

Чтобы задать функцию в виде формулы, необходимо записать математическое выражение, состоящее из аргументов функции и логических операций. Например, можно задать такую функцию: a∧b ∨ b∧c ∨ a∧c

Способы представления булевой функции

С помощью формул можно получать огромное количество разнообразных функций, причём с помощью разных формул можно получить одну и ту же функцию. Иногда бывает весьма полезно узнать, как построить ту или иную функцию, используя лишь небольшой набор заданных операций или используя как можно меньше произвольных операций. Рассмотрим основные способы задания булевых функций:

• Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ)
• Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ)
• Алгебраическая нормальная форма (АНФ, полином Жегалкина)

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ)

Простая конъюнкция — это конъюнкция некоторого конечного набора переменных, или их отрицаний, причём каждая переменная встречается не более одного раза.
Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) — это дизъюнкция простых конъюнкций.
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) — ДНФ относительно некоторого заданного конечного набора переменных, в каждую конъюнкцию которой входят все переменные данного набора.

Например, ДНФ является функция ¬a bc ∨ ¬a ¬b c ∨ ac, но не является СДНФ, так как в последней конъюнкции отсутствует переменная b.

Совершенная конъюнктивная нормальная форма (КНФ)

Простая дизъюнкция — это дизъюнкция одной или нескольких переменных, или их отрицаний, причём каждая переменная входит в неё не более одного раза.
Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) — это конъюнкция простых дизъюнкций.
Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) — КНФ относительно некоторого заданного конечного набора переменных, в каждую дизъюнкцию которой входят все переменные данного набора.

Например, КНФ является функция (a ∨ b) ∧ (a ∨ b ∨ c), но не является СДНФ, так как в первой дизъюнкции отсутствует переменная с.

Алгебраическая нормальная форма (АНФ, полином Жегалкина)

Алгебраическая нормальная форма, полином Жегалкина — это форма представления логической функции в виде полинома с коэффициентами вида 0 и 1, в котором в качестве произведения используется операция конъюнкции, а в качестве сложения — исключающее ИЛИ.

Примеры полиномов Жегалкина: 1, a, a⊕b, ab⊕a⊕b⊕1

Алгоритм построения СДНФ для булевой функции

1. Построить таблицу истинности для функции
2. Найти все наборы аргументов, на которых функция принимает значение 1
3. Выписать простые конъюнкции для каждого из наборов по следующему правилу: если в наборе переменная принимает значение 0, то она входит в конъюнкцию с отрицанием, а иначе без отрицания
4. Объединить все простые конъюнкции с помощью дизъюнкции

Алгоритм построения СКНФ для булевой функции

1. Построить таблицу истинности для функции
2. Найти все наборы аргументов, на которых функция принимает значение 0
3. Выписать простые дизъюнкции для каждого из наборов по следующему правилу: если в наборе переменная принимает значение 1, то она входит в дизъюнкцию с отрицанием, а иначе без отрицания
4. Объединить все простые дизъюнкции с помощью конъюнкции

Алгоритм построения полинома Жегалкина булевой функции

Есть несколько методов построения полинома Жегалкина, в данной статье рассмотрим наиболее удобный и простой из всех.

1. Построить таблицу истинности для функции
2. Добавить новый столбец к таблице истинности и записать в 1, 3, 5. ячейки значения из тех же строк предыдущего столбца таблицы истинности, а к значениям в строках 2, 4, 6. прибавить по модулю два значения из соответственно 1, 3, 5. строк.
3. Добавить новый столбец к таблице истинности и переписать в новый столбец значения 1, 2, 5, 6, 9, 10. строк, а к 3, 4, 7, 8, 11, 12. строкам аналогично предыдущему пункту прибавить переписанные значения.
4. Повторить действия каждый раз увеличивая в два раза количество переносимых и складываемых элементов до тех пор, пока длина не станет равна числу строк таблицы.
5. Выписать булевы наборы, на которых значение последнего столбца равно единице
6. Записать вместо единиц в наборах имена переменных, соответствующие набору (для нулевого набора записать единицу) и объединить их с помощью операции исключающего ИЛИ.

Примеры построения различных представлений логических функций

Построим совершенные дизъюнктивную и дизъюнктивную нормальные формы, а также полином Жегалкина для функции трёх переменных F = ¬a b∨ ¬b c∨ca